חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
2. $x=2,\ x=-7$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-7))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-7$.
3. $x^{3}y^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{3}=x^{3}y^{3}$.
4. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
5. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
6. $x^{5}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{2}\cdot x^{3}=x^{2+3}=x^{5}$.
7. $8500$ — כתיב מדעי: $8.5\times 10^{3}=8500$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
8. פתרון יחיד — $\Delta=-6^2-4\cdot3\cdot(3)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
9. $a^{7}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $8+3-4=7$, לכן התוצאה $a^{7}$.
10. $x=5,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(-3))=0$, ולכן $x=5$ או $x=-3$.
11. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
12. $x=1,\ x=\frac{-1}{3}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}$, כלומר $x=1$ או $x=\frac{-1}{3}$.
13. $x-6$ — $x^2-36=(x-6)(x+6)$, מצמצמים: $x-6$.
14. $x^{10}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $9+4-3=10$, לכן התוצאה $x^{10}$.
15. $x=1,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(4))=0$, ולכן $x=1$ או $x=4$.
16. $-6\leq x\leq 2$ — $-4\leq x+2\leq4$ ולכן $-6\leq x\leq2$.
17. $p^{16}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(p^{4}\right)^{4}=p^{4\cdot 4}=p^{16}$.
18. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
19. $x\geq 4$ — $3x\geq12\Rightarrow x\geq4$.
20. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 6: $36=6^{2}$. לכן $6^{x}=6^{2}$ ומכאן $x=2$.
21. $8.9\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $8900=8.9\times 10^{3}$.
22. $x^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{3}=x^{3\cdot 3}=x^{9}$.
23. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{4}=x^{3\cdot 4}=x^{12}$.
24. $10$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 50}=\sqrt{100}=10$.
25. $\dfrac{1}{x^{1}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $x^{-1}=\dfrac{1}{x^{1}}$.
26. $m=10 \text{ או } m=-10$ — $\Delta=m^2-100=0\Rightarrow m=\pm10$.
27. אינסוף פתרונות — המשוואה השנייה כפולה של הראשונה — שתי המשוואות זהות, ולכן אינסוף פתרונות.
28. $(x+4)(x-3)$ — $4\cdot(-3)=-12$, $4+(-3)=1$: $(x+4)(x-3)$.
29. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
30. $x=6,\ x=2$ — $|x-4|=2$ נותן שני מקרים: $x-4=2$ או $x-4=-2$, ומכאן $x=6$ או $x=2$.