חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
2. $t^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(t^{4}\right)^{3}=t^{4\cdot 3}=t^{12}$.
3. $x=3$ — כפל צולב: $2(x+1)=4(x-1)\Rightarrow2x+2=4x-4\Rightarrow x=3$ ($x\neq\pm1$).
4. $4x^2+4x+1$ — $(2x+1)^2=4x^2+2\cdot2x+1=4x^2+4x+1$.
5. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
6. $x+4$ — $x^2-16=(x-4)(x+4)$, מצמצמים: $x+4$.
7. $x=8,\ x=-2$ — $|x-3|=5$ נותן שני מקרים: $x-3=5$ או $x-3=-5$, ומכאן $x=8$ או $x=-2$.
8. $1<x<7$ — שורשים $x=1,7$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<7$.
9. $x<-3$ או $x>2$ — שורשים $x=-3,2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>2$.
10. שני פתרונות — $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
11. $x^{10}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{5}\cdot x^{5}=x^{5+5}=x^{10}$.
12. $3\sqrt{7}$ — מפרקים את 63 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}$.
13. $x=3,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-21)=100$. $x=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}$, כלומר $x=3$ או $x=-7$.
14. $a^{15}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{5}\right)^{3}=a^{5\cdot 3}=a^{15}$.
15. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
16. $\sqrt[5]{m^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $m^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{m^{2}}$.
17. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{2}$: $\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
18. $x=9,\ x=-5$ — $|x-2|=7$ נותן שני מקרים: $x-2=7$ או $x-2=-7$, ומכאן $x=9$ או $x=-5$.
19. $x+2$ — $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, מצמצמים: $x+2$.
20. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
21. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
22. $2\sqrt{2}$ — מפרקים את 8 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.
23. $x=5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $32=2^{5}$. לכן $2^{x}=2^{5}$ ומכאן $x=5$.
24. $5$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5\cdot 5}=\sqrt{25}=5$.
25. $x=3,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=64$. $x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}$, כלומר $x=3$ או $x=-5$.
26. $x=-1,\ x=-4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(4)=9$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-1$ או $x=-4$.
27. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
28. $0<x<5$ — שורשים $x=0,5$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<5$.
29. $x=-3,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(1))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=1$.
30. $x=2,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-2))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$.