חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $4x^2+4x+1$ — $(2x+1)^2=4x^2+2\cdot2x+1=4x^2+4x+1$.
2. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.
3. $k=-7$ — מציבים $x=3$: $9+3k+12=0\Rightarrow3k=-21\Rightarrow k=-7$.
4. $\dfrac{1}{16}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}=\dfrac{1}{16}$.
5. $a^{6}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{3}\right)^{2}=a^{3\cdot 2}=a^{6}$.
6. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
7. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
8. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.
9. $2\sqrt{2}$ — מפרקים את 8 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.
10. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
11. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}=3$.
12. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
13. $4$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$.
14. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
15. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
16. $x=9,\ x=1$ — $|x-5|=4$ נותן שני מקרים: $x-5=4$ או $x-5=-4$, ומכאן $x=9$ או $x=1$.
17. $x=8,\ x=-2$ — $|x-3|=5$ נותן שני מקרים: $x-3=5$ או $x-3=-5$, ומכאן $x=8$ או $x=-2$.
18. $30000$ — כתיב מדעי: $3\times 10^{4}=30000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
19. $x=-3,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(1))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=1$.
20. $-2<x<4$ — $-3<x-1<3$ ולכן $-2<x<4$.
21. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
22. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $1000=10^{3}$. לכן $10^{x}=10^{3}$ ומכאן $x=3$.
23. $1.2\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $120=1.2\times 10^{2}$.
24. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+1-3=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
25. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$.
26. $b^{5}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+2-3=5$, לכן התוצאה $b^{5}$.
27. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$.
28. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
29. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
30. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.