חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x\leq -4$ — חלוקה ב-(-3) הופכת: $x\leq-4$.
2. $x=4,\ y=2$ — חיסור: $2x=8\Rightarrow x=4$, ואז $2y=4\Rightarrow y=2$.
3. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
4. $\dfrac{1}{9}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$.
5. $\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{3}$: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1\sqrt{3}}{3}$.
6. $x<-3$ — $3x<-9\Rightarrow x<-3$.
7. $x<3$ — $-3x>-9\Rightarrow x<3$.
8. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
9. $x=5$ — ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן רק $x=5$ מקיים.
10. $x^{3}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{5}\div x^{2}=x^{5-2}=x^{3}$.
11. $x=3$ — כפל צולב: $2x=x+3\Rightarrow x=3$ ($x\neq-3$).
12. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.
13. $\sqrt[3]{x^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$.
14. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
15. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
16. $x=6$ — מכנה משותף 6: $\frac{2x+x}{6}=3\Rightarrow3x=18\Rightarrow x=6$.
17. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
18. $0<x<4$ — שורשים $x=0,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<4$.
19. $x=8$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $256=2^{8}$. לכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.
20. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
21. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(4)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
22. $x=2,\ y=1$ — הצבה: $4x+x-1=9\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2$, $y=1$.
23. $-3\leq x\leq 3$ — $|x|\leq3$ פירושו $-3\leq x\leq3$.
24. $x=3,\ y=4$ — חיבור: $4x=12\Rightarrow x=3$, $y=4$.
25. $x^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{9}\div x^{3}=x^{9-3}=x^{6}$.
26. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
27. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
28. $10000000$ — כתיב מדעי: $1\times 10^{7}=10000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
29. $x<-5$ או $x>-1$ — שורשים $x=-5,-1$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-5$ או $x>-1$.
30. $x^{1}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $3+2-4=1$, לכן התוצאה $x^{1}$.