חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $7$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $49^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{49}=7$.
2. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
3. $x<-3$ או $x>2$ — שורשים $x=-3,2$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>2$.
4. $x>4$ — מעבירים: $3x>12$, מחלקים ב-3: $x>4$.
5. $x=2,\ y=1$ — הצבה: $4x+x-1=9\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2$, $y=1$.
6. $x=3,\ y=4$ או $x=-4,\ y=-3$ — $x^2+(x+1)^2=25\Rightarrow2x^2+2x-24=0\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x-3)(x+4)=0$.
7. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
8. $2(x-3)(x+3)$ — מוציאים 2 ואז הפרש ריבועים: $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$.
9. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
10. $1<x<7$ — שורשים $x=1,7$. הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<7$.
11. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
12. $10$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{200}{2}}=\sqrt{100}=10$.
13. $-1\leq x\leq 5$ — $-9\leq3x-6\leq9\Rightarrow-3\leq3x... \Rightarrow-1\leq x\leq5$.
14. $x^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{12}\div x^{7}=x^{12-7}=x^{5}$.
15. $x=-4,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-4))(x-(1))=0$, ולכן $x=-4$ או $x=1$.
16. $x=2,\ y=4$ או $x=-1,\ y=1$ — $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$.
17. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
18. $\frac{3}{2x}$ — מכנה משותף $2x$: $\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ ($x\neq0$).
19. $t^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(t^{4}\right)^{3}=t^{4\cdot 3}=t^{12}$.
20. $3.4\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $340=3.4\times 10^{2}$.
21. $x>-3$ — $-2x<6$, חלוקה בשלילי הופכת: $x>-3$.
22. $x<3$ — $-x>-3\Rightarrow x<3$.
23. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
24. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(4)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
25. $9a^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(3a\right)^{2}=9a^{2}$.
26. $a^{15}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{5}\right)^{3}=a^{5\cdot 3}=a^{15}$.
27. $x=2,\ x=-8$ — $|x+3|=5$ נותן שני מקרים: $x+3=5$ או $x+3=-5$, ומכאן $x=2$ או $x=-8$.
28. פתרון יחיד — $\Delta=6^2-4\cdot1\cdot(9)=0$. $\Delta=0$ ולכן פתרון יחיד.
29. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
30. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6\cdot 6}=\sqrt{36}=6$.