חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
2. $x=\frac{3}{2},\ x=-2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49$. $x=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{3}{2}$ או $x=-2$.
3. $9x^2-12x+4$ — $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$.
4. $b^{2}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $b^{4}\div b^{2}=b^{4-2}=b^{2}$.
5. $x=7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $128=2^{7}$. לכן $2^{x}=2^{7}$ ומכאן $x=7$.
6. $8$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{64}=8$.
7. $a^{2}b^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{2}=a^{2}b^{2}$.
8. $x=6,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(6))(x-(1))=0$, ולכן $x=6$ או $x=1$.
9. $x=3,\ x=4$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(4))=0$, ולכן $x=3$ או $x=4$.
10. $0<x<5$ — שורשים $x=0,5$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<5$.
11. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
12. $x\geq 6$ — $\frac{x}{2}\geq3\Rightarrow x\geq6$.
13. $x\geq 3$ — $-2x\leq-6$, הופכים: $x\geq3$.
14. $m<4$ — $\Delta=16-4m>0\Rightarrow m<4$.
15. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
16. $1<x<4$ — הביטוי שלילי בין השורשים: $1<x<4$.
17. $b^{9}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(b^{3}\right)^{3}=b^{3\cdot 3}=b^{9}$.
18. $3\sqrt{3}$ — מפרקים את 27 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$.
19. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
20. $x=4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $81=3^{4}$. לכן $3^{x}=3^{4}$ ומכאן $x=4$.
21. $x=4,\ x=2$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-6^2-4\cdot1\cdot(8)=4$. $x=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=2$.
22. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 6: $36=6^{2}$. לכן $6^{x}=6^{2}$ ומכאן $x=2$.
23. $-3\leq x\leq 3$ — $x^2-9\leq0\Rightarrow(x-3)(x+3)\leq0\Rightarrow-3\leq x\leq3$.
24. $x=2,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-2))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$.
25. $7$ — כפל שורשים: $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7$.
26. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
27. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
28. $\dfrac{1}{a^{3}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}}$.
29. $x=4,\ x=3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot1\cdot(12)=1$. $x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=3$.
30. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.