חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $1.2\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $120=1.2\times 10^{2}$.
2. $3\sqrt{3}$ — מפרקים את 27 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$.
3. $4x^2+4x+1$ — $(2x+1)^2=4x^2+2\cdot2x+1=4x^2+4x+1$.
4. $x=3$ — כפל צולב: $2x=x+3\Rightarrow x=3$ ($x\neq-3$).
5. $x=0,\ x=5$ — מוציאים $x$: $x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ או $x=5$.
6. $a^{7}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $8+3-4=7$, לכן התוצאה $a^{7}$.
7. $9x^2-12x+4$ — $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$.
8. $x=\frac{1}{2},\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=49$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}$, כלומר $x=\frac{1}{2}$ או $x=-3$.
9. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{4}=x^{3\cdot 4}=x^{12}$.
10. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(3)=-11$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
11. $3\sqrt{2}$ — מפרקים את 18 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$.
12. $y^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $y^{2}\cdot y^{5}=y^{2+5}=y^{7}$.
13. $2(x-3)(x+3)$ — מוציאים 2 ואז הפרש ריבועים: $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$.
14. $x=6$ — כופלים פנים-חוץ: $4(x-3)=2x\Rightarrow4x-12=2x\Rightarrow2x=12\Rightarrow x=6$.
15. $8.9\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $8900=8.9\times 10^{3}$.
16. $2$ — $2x+6=2(x+3)$, מצמצמים: $2$.
17. $x^{2}y^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{2}=x^{2}y^{2}$.
18. $3<x<8$ — שורשים $x=3,8$. הביטוי שלילי בין השורשים: $3<x<8$.
19. $x^{4}y^{4}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{4}=x^{4}y^{4}$.
20. $7$ — לפי וייטה, סכום השורשים $=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$.
21. $3.4\times 10^{2}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $340=3.4\times 10^{2}$.
22. $x=3,\ x=-4$ — $12=x^2+x\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x+4)(x-3)=0$, $x\neq0$: $x=3$ או $x=-4$.
23. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.
24. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{10}\div x^{6}=x^{10-6}=x^{4}$.
25. $\frac{3}{2x}$ — מכנה משותף $2x$: $\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ ($x\neq0$).
26. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(4)=-16$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
27. $0<x<4$ — שורשים $x=0,4$. הביטוי שלילי בין השורשים: $0<x<4$.
28. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $6+1-3=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
29. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.
30. $a^{6}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{10}\div a^{4}=a^{10-4}=a^{6}$.