חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
2. $x^{4}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $7+2-5=4$, לכן התוצאה $x^{4}$.
3. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
4. $\dfrac{1}{y^{2}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $y^{-2}=\dfrac{1}{y^{2}}$.
5. $x=2,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-2))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$.
6. $x=4,\ x=-4$ — $x^2=16\Rightarrow x=\pm4$.
7. $x=3,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(-5))=0$, ולכן $x=3$ או $x=-5$.
8. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
9. $3\sqrt{7}$ — מפרקים את 63 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}$.
10. $x^{5}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{12}\div x^{7}=x^{12-7}=x^{5}$.
11. $x=-3,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-3))(x-(1))=0$, ולכן $x=-3$ או $x=1$.
12. $\sqrt[4]{a^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $a^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{a^{1}}$.
13. $3\sqrt{2}$ — מפרקים את 18 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$.
14. $1$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{6}\div a^{6}=a^{6-6}=1$.
15. $8500$ — כתיב מדעי: $8.5\times 10^{3}=8500$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
16. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
17. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.
18. $\dfrac{1}{10}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $10^{-1}=\dfrac{1}{10^{1}}=\dfrac{1}{10}$.
19. $x^2-25$ — הפרש ריבועים: $(x+5)(x-5)=x^2-25$.
20. $x=6$ — $x+2=2(x-2)=2x-4\Rightarrow x=6$ ($x\neq2$).
21. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
22. $x^2-8x+16$ — $(x-4)^2=x^2-2\cdot4x+16=x^2-8x+16$.
23. $x<-3$ או $x>3$ — שורשים $x=-3,3$. פרבולה פתוחה למעלה, חיובית מחוץ לשורשים: $x<-3$ או $x>3$.
24. $x=5,\ x=-1$ — $2x-4=6$ או $2x-4=-6$, כלומר $x=5$ או $x=-1$.
25. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
26. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.
27. $x=-4,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-4))(x-(1))=0$, ולכן $x=-4$ או $x=1$.
28. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
29. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 10: $1000=10^{3}$. לכן $10^{x}=10^{3}$ ומכאן $x=3$.
30. $x^{3}y^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{3}=x^{3}y^{3}$.