חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $1200$ — כתיב מדעי: $1.2\times 10^{3}=1200$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
2. $x+4$ — $x^2-16=(x-4)(x+4)$, מצמצמים: $x+4$.
3. $\sqrt[2]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{x^{1}}$.
4. $\sqrt[2]{y^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $y^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{y^{3}}$.
5. $x^2+6x+9$ — $(x+3)^2=x^2+2\cdot3x+9=x^2+6x+9$.
6. $(x-6)^2$ — $x^2-12x+36=(x-6)^2$.
7. $x>2$ או $x<-1$ — מנה חיובית כששני הגורמים בעלי אותו סימן: $x>2$ או $x<-1$ ($x\neq-1$).
8. $x^{5}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{2}\cdot x^{3}=x^{2+3}=x^{5}$.
9. $m=4 \text{ או } m=-4$ — $\Delta=m^2-16=0\Rightarrow m=\pm4$.
10. $x^{9}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{7}\cdot x^{2}=x^{7+2}=x^{9}$.
11. $7$ — כפל שורשים: $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7$.
12. $x^{14}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{2}\right)^{7}=x^{2\cdot 7}=x^{14}$.
13. $4.5\times 10^{4}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $45000=4.5\times 10^{4}$.
14. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
15. $2\sqrt{2}$ — מפרקים את 8 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.
16. $25x^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(5x\right)^{2}=25x^{2}$.
17. $x\geq 4$ — $3x\geq12\Rightarrow x\geq4$.
18. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.
19. $m=8 \text{ או } m=-8$ — $\Delta=m^2-64=0\Rightarrow m=\pm8$.
20. $-2<x<4$ — $-3<x-1<3$ ולכן $-2<x<4$.
21. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
22. $x^{2}y^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{2}=x^{2}y^{2}$.
23. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
24. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
25. $5\sqrt{3}$ — מפרקים את 75 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
26. $4$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$.
27. $\dfrac{1}{7}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $7^{-1}=\dfrac{1}{7^{1}}=\dfrac{1}{7}$.
28. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
29. $\dfrac{1}{16}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}=\dfrac{1}{16}$.
30. $x=-4,\ x=1$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-4))(x-(1))=0$, ולכן $x=-4$ או $x=1$.