חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x<-3$ — $3x<-9\Rightarrow x<-3$.
2. $x\leq 3$ — $2x\leq6\Rightarrow x\leq3$.
3. $x=2,\ y=1$ — הצבה: $4x+x-1=9\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2$, $y=1$.
4. $6\sqrt{2}$ — מפרקים את 72 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
5. $\sqrt[2]{y^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $y^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{y^{3}}$.
6. $(x-7)(x+7)$ — הפרש ריבועים: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.
7. $a^{10}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(a^{2}\right)^{5}=a^{2\cdot 5}=a^{10}$.
8. $x=5,\ y=1$ — חיבור: $3x=15\Rightarrow x=5$, $y=1$.
9. $\sqrt[2]{x^{1}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{x^{1}}$.
10. שני פתרונות — $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25$. $\Delta>0$ ולכן שני פתרונות.
11. $k^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $k^{3}\cdot k^{5}=k^{3+5}=k^{8}$.
12. $(x+3)(x^2-3x+9)$ — סכום קוביות: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$.
13. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.
14. $1$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $a^{6}\div a^{6}=a^{6-6}=1$.
15. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
16. $m>1$ — $\Delta=4-4m<0\Rightarrow m>1$.
17. $x=6$ — מכנה משותף 6: $\frac{2x+x}{6}=3\Rightarrow3x=18\Rightarrow x=6$.
18. $x+3$ — $x^2-9=(x-3)(x+3)$, מצמצמים ב-$(x-3)$ ($x\neq3$): $x+3$.
19. $x=4,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-28)=121$. $x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-7$.
20. $x=-2,\ x=-3$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-2))(x-(-3))=0$, ולכן $x=-2$ או $x=-3$.
21. $x=5,\ y=3$ — $x=y+2$: $(y+2)y=15\Rightarrow y^2+2y-15=0\Rightarrow(y+5)(y-3)=0$, $y=3$ נותן $x=5$.
22. $(x-3)^2$ — $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
23. אין פתרון — לא ייתכן שסכום אחד יהיה גם 4 וגם 7 — אין פתרון.
24. $5000$ — כתיב מדעי: $5\times 10^{3}=5000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
25. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$.
26. $4$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$.
27. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
28. $x=5,\ x=-1$ — $2x-4=6$ או $2x-4=-6$, כלומר $x=5$ או $x=-1$.
29. $m<4$ — $\Delta=16-4m>0\Rightarrow m<4$.
30. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.