חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x\neq -4$ — ערך מוחלט חיובי לכל $x$ פרט ל-$x=-4$.
2. $x^{5}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $x^{1}\cdot x^{4}=x^{1+4}=x^{5}$.
3. $x=2,\ y=3$ — השוואה: $x+1=2x-1\Rightarrow x=2$, $y=3$.
4. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$.
5. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
6. $a^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{4}\cdot a^{4}=a^{4+4}=a^{8}$.
7. $x=5,\ y=1$ — חיבור: $3x=15\Rightarrow x=5$, $y=1$.
8. $x=6$ — $x+2=2(x-2)=2x-4\Rightarrow x=6$ ($x\neq2$).
9. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
10. $x=-1,\ x=-4$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(4)=9$. $x=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$, כלומר $x=-1$ או $x=-4$.
11. $x=6,\ x=2$ — $|x-4|=2$ נותן שני מקרים: $x-4=2$ או $x-4=-2$, ומכאן $x=6$ או $x=2$.
12. $25x^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(5x\right)^{2}=25x^{2}$.
13. $\sqrt[5]{m^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $m^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{m^{2}}$.
14. $x=3,\ y=4$ — חיבור: $4x=12\Rightarrow x=3$, $y=4$.
15. $x=-1,\ x=-6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(-1))(x-(-6))=0$, ולכן $x=-1$ או $x=-6$.
16. $x\geq 2$ או $x\leq -4$ — $x+1\geq3$ או $x+1\leq-3$ ולכן $x\geq2$ או $x\leq-4$.
17. $x^{1}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $3+2-4=1$, לכן התוצאה $x^{1}$.
18. $\sqrt[2]{x^{5}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{5}{2}}=\sqrt[2]{x^{5}}$.
19. $a^{3}b^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(ab\right)^{3}=a^{3}b^{3}$.
20. $2.3\times 10^{3}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $2300=2.3\times 10^{3}$.
21. $2\sqrt{3}$ — מפרקים את 12 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$.
22. $x=4,\ x=-3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-1^2-4\cdot1\cdot(-12)=49$. $x=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-3$.
23. $x=2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $4=2^{2}$. לכן $2^{x}=2^{2}$ ומכאן $x=2$.
24. $5$ — כפל שורשים: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5\cdot 5}=\sqrt{25}=5$.
25. $x=3$ — כופלים ב-$(x-2)$, $x\neq2$: $x=3(x-2)=3x-6\Rightarrow-2x=-6\Rightarrow x=3$.
26. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
27. $x^{3}y^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(xy\right)^{3}=x^{3}y^{3}$.
28. $x=\frac{1}{3}$ — כופלים ב-$x$: $x+1=4x\Rightarrow1=3x\Rightarrow x=\frac{1}{3}$.
29. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
30. $x=7,\ x=-5$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot1\cdot(-35)=144$. $x=\frac{2\pm\sqrt{144}}{2\cdot1}$, כלומר $x=7$ או $x=-5$.