גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $5\sqrt{3}$ — ניצב מול $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$.
2. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.
3. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
4. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
5. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
6. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
7. $(-1,1)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-4+2}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(-1,1)$.
8. $(4,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=4$, ולכן נקודת החיתוך $(4,0)$.
9. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
10. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
11. $\frac{1}{2}$ — $\sin 30^\circ = \frac{5}{10} = \frac12$.
12. $(2,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(2,2)$.
13. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
14. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-\frac{1}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-\frac{1}{3}$.
15. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(1)}{4-(0)} = \frac{8}{4} = 2$.
16. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{13-(1)}{5-(1)} = \frac{12}{4} = 3$.
17. $m=\frac{1}{3}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-3$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{3}$.
18. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
19. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
20. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
21. $5$ — $AB=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
22. $\frac{3}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|8\cdot1+6\cdot1-20|}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
23. $30$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot60=30$.
24. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
25. $4$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(0)^2}=\sqrt{16}=4$.
26. $y=2x-1$ — שיפוע $m=\frac{3-(-1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=-1-(2)\cdot0=-1$. לכן $y=2x-1$.
27. $m=-\frac{1}{4}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=4$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{4}$.
28. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
29. $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=2,\ b=2,\ r=1$: $(x-2)^2+(y-2)^2=1$.
30. $y=-x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=-1(x-(-2))$, כלומר $y=-1x+1$.