גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $15$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(9)^2+(12)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
2. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
3. $15^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{12}\cdot\frac{180}{\pi} = 15^\circ$.
4. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
5. $210^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 210^\circ$.
6. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
7. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
8. $(-1,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(-1,4)$.
9. $20$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot40=20$.
10. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.
11. $270^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 270^\circ$.
12. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
13. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
14. $9$ — $\tan 45^\circ = \frac{9}{b}$, ומכיוון ש-$\tan 45^\circ=1$ הצל הוא $9$ מטר.
15. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(0)}{5-(2)} = \frac{9}{3} = 3$.
16. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
17. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.
18. $(0,5)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=5$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,5)$.
19. $\frac{50}{\sqrt{3}}$ — גובה $= 50\tan 30^\circ = 50\cdot\frac{1}{\sqrt3} = \frac{50}{\sqrt3}$ מטר.
20. $y=x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=1(x-(3))$, כלומר $y=1x-3$.
21. $(0,-3),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,-3)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
22. $10$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(8)^2+(6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.
23. לא — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. לא מתקבל שוויון — הנקודה אינה על הישר.
24. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
25. $y=x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=1(x-(2))$, כלומר $y=1x+1$.
26. $m=-\frac{1}{5}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=5$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{5}$.
27. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
28. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(3)}{5-(2)} = \frac{6}{3} = 2$.
29. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
30. $5$ — לפי פיתגורס $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.