גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $270^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 270^\circ$.
2. $(2,-3),\ r=7$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,-3)$ והרדיוס $r=\sqrt{49}=7$.
3. $(5,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{3+7}{2},\frac{1+9}{2}\right)=(5,5)$.
4. $360^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $2\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 360^\circ$.
5. $y=-x+7$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=-1$. נציב את הנקודה: $b=5-(-1)\cdot2=7$, ולכן $y=-x+7$.
6. $(-4,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=-4$, ולכן נקודת החיתוך $(-4,0)$.
7. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
8. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
9. $m=4$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $4$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $4$.
10. $m=-\frac{1}{5}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=5$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{5}$.
11. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
12. $y=2x$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=2(x-(0))$, כלומר $y=2x$.
13. $(3,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$.
14. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-2,\ b=1,\ r=4$: $(x+2)^2+(y-1)^2=16$.
15. $y=2x-4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-2)=2(x-(1))$, כלומר $y=2x-4$.
16. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
17. $(-2,4),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-2,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
18. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
19. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
20. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $120^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$.
21. $30$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot60=30$.
22. $\sqrt{13}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=\sqrt{13}$.
23. $(x+1)^2+(y+3)^2=25$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-1,\ b=-3,\ r=5$: $(x+1)^2+(y+3)^2=25$.
24. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
25. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-(1)}{6-(3)} = \frac{6}{3} = 2$.
26. $y=x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=1(x-(2))$, כלומר $y=1x+1$.
27. $(0,8)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=8$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,8)$.
28. $(x-1)^2+(y-2)^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=1,\ b=2,\ r=3$: $(x-1)^2+(y-2)^2=9$.
29. $y=-2x+8$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(2)=-2(x-(3))$, כלומר $y=-2x+8$.
30. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-(-1)}{1-(-1)} = \frac{4}{2} = 2$.