חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. x ≥ 4 — x-4 ≥ 0 → x ≥ 4.
2. t = 4 שניות — 80 − 5t² = 0 ⇒ t² = 16 ⇒ t = 4.
3. 4 — f(1) = 2, g(1) = 2. (f · g)(1) = 2 · 2 = 4.
4. x ≥ 7 — הביטוי שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: x − 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ 7.
5. 4 — f(0) = 0 + 2 = 2. g(f(0)) = g(2) = 2² = 4
6. x ≥ 0 — 2x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. הכפלה חיובית בקלט אינה משנה את התחום של √x.
7. x < −1 או x > 3 — x² − 2x − 3 > 0 ⇒ (x−3)(x+1) > 0 ⇒ x < −1 או x > 3.
8. g(x) = 2(x − 1)² — קודקוד (1, 0): g(x) = a(x − 1)². הצבה (0, 2): 2 = a·1 → a = 2.
9. −6 לעומת 3 — g(3) = −2·|3| = −2·3 = −6. הערך המקורי |3| = 3.
10. −5 — g(1) = −5·(1)² = −5·1 = −5.
11. g(x) = √(x + 4) − 1 — הזזה שמאלה 4: √(x + 4). הזזה מטה 1: − 1. סופי: √(x + 4) − 1.
12. 2x + 1 — g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.
13. g(x) = (1/2)|x| — כיווץ אנכי פי 2 פירושו הכפלה במקדם 1/2: g(x) = (1/2)·|x|.
14. 15 — g(2) = 3·f(2) = 3·5 = 15.
15. x = 7, x = −3 — x − 2 = ±5 ⇒ x = 7 או x = −3.
16. x = −4 — g לא מוגדרת כאשר המכנה מתאפס: x + 4 = 0 ⇒ x = −4. זו האסימפטוטה האנכית.
17. 16 — g(x) = x³ + 8. הצבה: g(2) = 2³ + 8 = 8 + 8 = 16.
18. g(x) = √(x − 2) − 1 — 2 ימינה (x − 2), 1 מטה (−1). g(x) = √(x − 2) − 1.
19. 1 — |x − 7| ≥ 0, ערכו המינימלי 0 (כש-x = 7). לכן המינימום של g הוא 0 + 1 = 1.
20. שיקוף לציר ה-x — g(x) = −f(x) — סימן מינוס בפלט, כלומר שיקוף לציר ה-x.
21. זהה ל-−|x| — |−x| = |x|, ולכן −|−x| = −|x|. פונקציה זוגית לא משתנה משיקוף ל-y.
22. g(x) = (2x)³ — כיווץ אופקי פי 2: g(x) = f(2x) = (2x)³.
23. k < 0 — x² + 1 = 2x + k ⇒ x² − 2x + (1 − k) = 0. Δ = 4 − 4(1 − k) = 4k. ללא חיתוך ⇒ Δ < 0 ⇒ k < 0.
24. g(x) = (1/4)x² — כיווץ אנכי במקדם 1/4: g(x) = (1/4)·f(x) = (1/4)x².
25. p = 25 — I(p) = p(50 − p) = −p² + 50p. p_v = 50/2 = 25.
26. כיווץ אנכי פי 2 — המקדם ½ הוא בין 0 ל-1, מה שמייצג כיווץ אנכי פי 2 (פי 1/(½) = 2).
27. g(x) = 1/(x − 3) − 1 — ימינה 3: x → x − 3. מטה 1: −1 בסוף. מתקבל 1/(x − 3) − 1.
28. x ≥ 0 — הזזה אנכית אינה משנה את תחום ההגדרה — היא משפיעה רק על הפלט. התחום נשאר x ≥ 0.
29. (1, 0) ו-(−5, 0) — פותרים (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
30. a < 4 — Δ > 0 ⇒ 16 − 4a > 0 ⇒ a < 4.