חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. (5, 3) — ימינה 3: x → x + 3 = 5. מטה 2: y → y − 2 = 3. הנקודה החדשה: (5, 3).
2. (0, 0) — מתיחה/כיווץ אנכי אינם משנים את נקודת הקיצון של x², שהיא (0, 0).
3. ימינה 4, שיקוף ל-x, מעלה 6 — x − 4: ימינה 4. מינוס בחוץ: שיקוף ל-x. +6: מעלה 6.
4. 21 — f(2) = 7. g(f(2)) = g(7) = 3(7) = 21.
5. g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2 מתבטא ב-f(2x) = (2x)². המקדם בתוך הקלט.
6. 100 — x + y = 20 ⇒ S(x) = x(20 − x) = −x² + 20x. מקסימום ב-x = 10, S = 100.
7. x ≥ −2 ו-x ≠ 3 — שורש: x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2. מכנה: x − 3 ≠ 0. חיתוך: x ≥ −2 ו-x ≠ 3.
8. x ≥ 4 — x-4 ≥ 0 → x ≥ 4.
9. 3 — f⁻¹ היא הפונקציה ההופכית. אם f(3)=7 אז f⁻¹(7)=3.
10. 8 — תחילה g(1) = 1 + 3 = 4. לאחר מכן f(4) = 2 × 4 = 8
11. y = 9 — x² = 9 ⇒ נקודות חיתוך של y = x² עם הישר האופקי y = 9.
12. כל המספרים הממשיים — פולינום מוגדר לכל ערך של x. אין הגבלות על תחום ההגדרה
13. x ≥ −3 — השורש דורש x + 3 ≥ 0, כלומר x ≥ −3. ההזזה האנכית לא משפיעה על התחום.
14. (1, 0) — g(x) = 0 כאשר x − 1 = 0 כלומר x = 1. החיתוך הוא בנקודה (1, 0).
15. שמאלה 5 ומטה 2 — x + 5 ⇒ שמאלה 5. − 2 בחוץ ⇒ מטה 2.
16. g(x) = −√x/2 — כיווץ אנכי פי 2: ½·f(x). שיקוף לציר ה-x: סימן מינוס. מתקבל −√x/2.
17. מתיחה אופקית פי 3 והזזה 4 מטה — x/3 בתוך הריבוע = מתיחה אופקית פי 3. −4 = הזזה 4 מטה.
18. (−2, 0) — g היא הזזה של x² ב-2 יחידות שמאלה (כי x + 2 = x − (−2)). הקיצון: (−2, 0).
19. g(x) = −x² — f(−x) = (−x)² = x². −f(−x) = −x². פונקציה זוגית נשארת ללא שינוי תחת שיקוף לציר ה-y, ואז שיקוף לציר ה-x הופך את סימן הפלט.
20. 5 ימינה — x² − 10x + 25 = (x − 5)². זו הזזה ימינה של 5 יחידות.
21. g(x) = (x − 3)² — הזזה ימינה ב-p יחידות: g(x) = f(x − p). כאן p = 3, ולכן g(x) = (x − 3)².
22. כל x ≠ 0 — חלוקה באפס לא מוגדרת. תחום: כל x חוץ מ-x=0.
23. x > 1 — שורש דורש x − 1 ≥ 0, מכנה דורש x − 1 ≠ 0. שניהם יחד: x − 1 > 0.
24. g(x) = |x − 6| — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 6) = |x − 6|.
25. y ≥ 1 — x² ≥ 0 לכל x, לכן x² + 1 ≥ 1. הערך המינימלי הוא 1 (כאשר x = 0). תחום הערכים: y ≥ 1
26. y ≥ 5 — ההזזה 5 מעלה מעבירה כל ערכי הפלט ב-5 כלפי מעלה. הטווח החדש: y ≥ 5.
27. g(x) = |x/2| − 1 — הצבה ישירה: f(x/2) = |x/2|, ואז מורידים 1.
28. g(x) = −2x + 1 — g(x) = f(−x) = 2(−x) + 1 = −2x + 1.
29. m = 4 או m = −4 — x² = mx − 4 ⇒ x² − mx + 4 = 0. משיק ⇒ Δ = 0 ⇒ m² − 16 = 0 ⇒ m = ±4.
30. −6 לעומת 3 — g(3) = −2·|3| = −2·3 = −6. הערך המקורי |3| = 3.