חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 21 — f(2) = 7. g(f(2)) = g(7) = 3(7) = 21.
2. g(x) = −2x + 1 — g(x) = f(−x) = 2(−x) + 1 = −2x + 1.
3. y ≤ 3 — √(x + 1) ≥ 0 ⇒ −√(x + 1) ≤ 0 ⇒ 3 − √(x + 1) ≤ 3.
4. g(x) = √(x/4) — מתיחה אופקית פי 4 = החלפת x ב-x/4. מתקבל √(x/4).
5. (1, 1) — משיק — x² = 2x − 1 ⇒ x² − 2x + 1 = 0 ⇒ (x − 1)² = 0. שורש כפול x = 1.
6. −4 — x² + x − 12 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 3) = 0. שני פתרונות: x = −4 ו-x = 3. הקטן יותר: −4.
7. x > 1 — שורש דורש x − 1 ≥ 0, מכנה דורש x − 1 ≠ 0. שניהם יחד: x − 1 > 0.
8. (2, −12) — g(2) = −3·f(2) = −3·4 = −12. ה-x לא משתנה כי הטרנספורמציה אנכית בלבד.
9. g(x) = −√x/2 — כיווץ אנכי פי 2: ½·f(x). שיקוף לציר ה-x: סימן מינוס. מתקבל −√x/2.
10. 5 ימינה — x² − 10x + 25 = (x − 5)². זו הזזה ימינה של 5 יחידות.
11. g(x) = 5|x| — מתיחה אנכית פי 5 פירושה הכפלת כל הפלט ב-5: g(x) = 5·|x| = 5|x|.
12. g(x) = 1/(x − 3) − 1 — ימינה 3: x → x − 3. מטה 1: −1 בסוף. מתקבל 1/(x − 3) − 1.
13. (5, 7) — ימינה 5 ומעלה 7 מעבירות את (0, 0) ל-(5, 7).
14. 1 — |x − 7| ≥ 0, ערכו המינימלי 0 (כש-x = 7). לכן המינימום של g הוא 0 + 1 = 1.
15. y ≥ 0 — שורש ריבועי תמיד אי-שלילי. תחום ערכים: y ≥ 0.
16. g(x) = (x/2)² − 5 — מתיחה אופקית פי 2: x → x/2. הזזה מטה 5: −5. מתקבל (x/2)² − 5.
17. y ≥ 0 — x² ≥ 0 לכל x. תחום הערכים: y ≥ 0.
18. t = 2.5 שניות — t_v = −25/(−10) = 2.5 שניות.
19. g(x) = |x − 6| — הזזה ימינה: g(x) = f(x − 6) = |x − 6|.
20. x ≥ 7 — הביטוי שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: x − 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ 7.
21. 3x + 2 — f(g(x)) = f(3x-2) = (3x-2)+4 = 3x+2.
22. g(x) = √(x − 1) + 2 — ימינה ב-1: x → x − 1. מעלה ב-2: +2. מתקבל √(x − 1) + 2 עם תחום x ≥ 1.
23. g(x) = 5√x — מתיחה אנכית פי 5: g(x) = 5·f(x) = 5√x. המקדם מחוץ לשורש.
24. 4 — f(1) = 2, g(1) = 2. (f · g)(1) = 2 · 2 = 4.
25. x = 3, x = −3 — y = |x| חותך את y = 3 בשתי נקודות x = ±3.
26. 2x + 5 — g(x) = 2x. f(g(x)) = f(2x) = 2x + 5
27. x ≥ −2 ו-x ≠ 3 — שורש: x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2. מכנה: x − 3 ≠ 0. חיתוך: x ≥ −2 ו-x ≠ 3.
28. 100 — x + y = 20 ⇒ S(x) = x(20 − x) = −x² + 20x. מקסימום ב-x = 10, S = 100.
29. 4 — g(3) = 3-1 = 2. f(g(3)) = f(2) = 2² = 4.
30. x = 3, x = −1 — x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0.