אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

פתרונות

1. −3 < x < 3 — שורשים ±3. פרבולה צוחקת, < 0 בין השורשים.
2. כל x — Δ=4−20=−16<0, a=1>0 ⇒ הפרבולה כולה מעל ציר x.
3. n·x^(n−1) — כלל החזקה: d/dx[x^n]=n·x^(n−1).
4. 6 ו-7 — n²+(n+1)² = 85 ⇒ 2n²+2n−84=0 ⇒ n²+n−42=0 ⇒ (n−6)(n+7)=0 ⇒ n=6.
5. x = (3 + k)/2 — חיבור המשוואות: 2x = 3 + k ⇒ x = (3+k)/2.
6. k = 5 — אם y = 2, מהמשוואה השנייה: 3x − 2 = 1 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1. הצבה במשוואה הראשונה: 1 + 2·2 = k ⇒ k = 5.
7. כל k אפשרי שמקיים Δ ≥ 0 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = 8/2 = 4, ללא תלות ב-k. לכן התנאי מתקיים בעבור כל k שעבורו יש שורשים ממשיים: Δ = k² − 64 ≥ 0 ⇒ |k| ≥ 8.
8. k = 2 — צריך יחס שווה: k/1 = 4/2 = 6/3 ⇒ k = 2.
9. 1 — [x²]₀¹=1−0=1.
10. 4 — סכום השורשים = −b/a = −(−8)/2 = 4.
11. k = 4 — Δ = 16 − 4k = 0 ⇒ k = 4.
12. k ≠ 10 — המקדמים פרופורציוניים (פי 2). אם k=10 — אינסוף פתרונות; אם k≠10 — אין פתרון (מקבילים).
13. x = 3 בלבד — (x − 3)² ≤ 0. הריבוע תמיד ≥ 0 ושווה ל-0 רק כאשר x = 3.
14. x = 3, x = −4 — פירוק: (x − 3)(x + 4) = 0. סכום −1, מכפלה −12.
15. x < 3 — 2x < 6 ⇒ x < 3.
16. x = 5 — ריבוע: 3x + 1 = 16 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5. בדיקה: √16 = 4 ✓.
17. −4 — מכפלת השורשים לפי וייטה = c/a = −12/3 = −4.
18. x < −3/2 או x > 3/2 — 4x² > 9 ⇒ x² > 9/4. שורשים ±3/2. פרבולה צוחקת ⇒ > 0 מחוץ.
19. 2 ≤ x ≤ 3 — כפל ב-−1 (הופך): x²−5x+6 ≤ 0 ⇒ (x−2)(x−3)≤0 ⇒ 2≤x≤3.
20. x = 4, x = −2 — פירוק: (x − 4)(x + 2) = 0. סכום 2, מכפלה −8.
21. x < −1 או x > 3 — פירוק: (x − 3)(x + 1). שורשים −1, 3, פרבולה צוחקת ⇒ > 0 מחוץ לשורשים.
22. k = 7 — וייטה: סכום = 7, מכפלה = k. שוויון ⇒ k = 7.
23. 2 ≤ x ≤ 3 — שורשים x = 2, 3. פרבולה צוחקת; ≤ 0 בין השורשים כולל.
24. k = 6 — וייטה: סכום = 6, מכפלה = k. דרישה: 6 = k ⇒ k = 6.
25. x = 6, x = −2 — x² − 4x − 12 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 2) = 0.