אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

פתרונות

1. −4 < x < −2 — (x + 4)(x + 2) < 0. שורשים −4, −2. פרבולה צוחקת ⇒ < 0 בין השורשים.
2. x = 2, x = 3 — x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0.
3. אין פתרון — כפל במכנה משותף: (x−3)²+(x+2)² = 2(x+2)(x−3). הצד הימני: 2(x²−x−6). הצד השמאלי: 2x²−2x+13. ⇒ 2x²−2x+13 = 2x²−2x−12 ⇒ 13 = −12. סתירה.
4. x = 5, x = −2 — פירוק: (x − 5)(x + 2) = 0. סכום 3, מכפלה −10.
5. x = 2, x = −4 — פתיחה: x² + 2x − 3 = 5 ⇒ x² + 2x − 8 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 4) = 0.
6. y = 3 — כפל השנייה ב-2: 10x − 4y = 28. חיבור עם הראשונה: 13x = 52 ⇒ x = 4, ואז y = 3.
7. 7 — n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0 ⇒ (n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7 (חיובי).
8. x = 2, x = 3 — פירוק: (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 או x = 3. וייטה: סכום 5, מכפלה 6.
9. x = 3, x = −3 — x² = 9 ⇒ x = ±3. אל תשכח את ±.
10. k = ±5 — וייטה: x₁+x₂ = −k, x₁x₂ = 6. x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ = k² − 12 = 13 ⇒ k² = 25 ⇒ k = ±5.
11. x ≤ 2 — 6 ≥ 3x ⇒ 2 ≥ x ⇒ x ≤ 2.
12. כל k אפשרי שמקיים Δ ≥ 0 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = 8/2 = 4, ללא תלות ב-k. לכן התנאי מתקיים בעבור כל k שעבורו יש שורשים ממשיים: Δ = k² − 64 ≥ 0 ⇒ |k| ≥ 8.
13. x = −15/8 — פותחים: 2x − 6 − 10x − 5 = 4 ⇒ −8x − 11 = 4 ⇒ −8x = 15 ⇒ x = −15/8.
14. x = 20/3 — 0.2x + 1 = 0.5x − 1 ⇒ 2 = 0.3x ⇒ x = 20/3.
15. (2, 1) — מהשנייה y = 4x − 7. הצבה: 2x + 3(4x − 7) = 7 ⇒ 14x = 28 ⇒ x = 2, y = 1.
16. x = 0, x = −5/2 — x(2x + 5) = 0 ⇒ x = 0 או 2x = −5 ⇒ x = −5/2.
17. k = ±4 — Δ = k² − 16 = 0 ⇒ k² = 16 ⇒ k = ±4.
18. −2 ≤ x < 7 — חיסור 2: −7 < −x ≤ 2. כפל ב-(−1) והפיכת סימן: −2 ≤ x < 7.
19. −2 < x < 4 — (x − 4)(x + 2) < 0. שורשים −2 ו-4. פרבולה צוחקת ⇒ < 0 בין השורשים.
20. x < 2 או x > 5 — פירוק: (x − 2)(x − 5). שורשים 2, 5. פרבולה צוחקת ⇒ > 0 מחוץ.
21. x < 3 — 2x < 6 ⇒ x < 3.
22. אין פתרון — פתיחת סוגריים: 3x − 6 = 3x + 5 ⇒ −6 = 5, סתירה ⇒ אין פתרון.
23. 2 ≤ x ≤ 3 — שורשים 2 ו-3. פרבולה צוחקת ⇒ ≤0 בין השורשים.
24. x = −2 (שורש כפול) — (x + 2)² = 0 ⇒ x = −2 שורש כפול.
25. x = 57/17 — כופלים ב-10: 5(3x−1) + 2(x+4) = 60 ⇒ 15x − 5 + 2x + 8 = 60 ⇒ 17x + 3 = 60 ⇒ 17x = 57 ⇒ x = 57/17.