אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

פתרונות

1. 5 — צלע a. (a+3)(a−2)=24 ⇒ a²+a−6=24 ⇒ a²+a−30=0 ⇒ (a−5)(a+6)=0 ⇒ a=5.
2. x = 0, x = −5/2 — x(2x + 5) = 0 ⇒ x = 0 או 2x = −5 ⇒ x = −5/2.
3. lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h — הגדרת הנגזרת: f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h.
4. 4 — x²−6x+5=0 ⇒ (x−1)(x−5)=0. שורשים 1 ו-5. מרחק = 4.
5. k = 6 — צריך k/3 = 2/1 = 4/2 ⇒ k = 6 ו-2=2 ו-2=2 ✓.
6. x = 4 ± √13 — x² − 8x = −3 ⇒ (x − 4)² − 16 = −3 ⇒ (x − 4)² = 13 ⇒ x = 4 ± √13.
7. x = −1 ± √2 — x = (−2 ± √(4+4))/2 = (−2 ± 2√2)/2 = −1 ± √2.
8. −5 ≤ x ≤ −3 או 3 ≤ x ≤ 5 — x²≥9 ⇒ x≤−3 או x≥3. |x|≤5 ⇒ −5≤x≤5. חיתוך: [−5,−3]∪[3,5].
9. אין פתרון — x²−1 = (x−1)(x+1). מכנה משותף: (x+1)+(x−1) = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1. אך x=1 פוסל את התחום. אין פתרון.
10. x = 8 — פותחים סוגריים: 2x − 6 = 10 ⇒ 2x = 16 ⇒ x = 8.
11. −2 ≤ x ≤ 2 — שורשים ±2. פרבולה בוכה (a<0) ⇒ ≥ 0 בין השורשים.
12. −4 < x < −2 — (x + 4)(x + 2) < 0. שורשים −4, −2. פרבולה צוחקת ⇒ < 0 בין השורשים.
13. x = −2, x = −5 — פירוק: (x + 2)(x + 5) = 0. סכום −7, מכפלה 10 — שניהם שליליים.
14. 1 ≤ x ≤ 3 — כפל ב-(−1): x² − 4x + 3 ≤ 0 ⇒ (x − 1)(x − 3) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3.
15. k = 6 — אין פתרון ⇔ יחס מקדמי x = יחס מקדמי y ≠ יחס קבועים. 4/2 = k/3 ⇒ k = 6, ובאמת 10/6 ≠ 2.
16. y = (a − 2)/2 — חיסור: (x+y)−(x−y) = a−2 ⇒ 2y = a−2 ⇒ y = (a−2)/2.
17. x = 8 — מעבירים: 2x = 16 ⇒ x = 8.
18. −2 ≤ x < 7 — חיסור 2: −7 < −x ≤ 2. כפל ב-(−1) והפיכת סימן: −2 ≤ x < 7.
19. x = 13 — 2x + 1 = 3(x − 4) ⇒ 2x + 1 = 3x − 12 ⇒ x = 13.
20. x = −1 ± √5 — Δ = 4 + 16 = 20. x = (−2 ± 2√5)/2 = −1 ± √5.
21. x = −2 — 8x + 5 = 6x − 3 + 4 = 6x + 1 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2.
22. −5 ≤ x ≤ 5 — שורשים ±5. פרבולה צוחקת ⇒ ≤ 0 בין השורשים.
23. x = 15 — 7x − 3x + 12 = 5x + 5 − 8 ⇒ 4x + 12 = 5x − 3 ⇒ 15 = x.
24. x < −1 או x > 3 — פירוק: (x − 3)(x + 1). שורשים −1, 3, פרבולה צוחקת ⇒ > 0 מחוץ לשורשים.
25. x³+C — ∫3x² dx=3x³/3+C=x³+C.