אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

פתרונות

1. x = 3 — מעבירים: −2x = −6 ⇒ x = 3.
2. x ≤ −2 או x ≥ 2 — שורשים x = ±2. הפרבולה צוחקת (a>0); ≥ 0 מחוץ לשורשים.
3. (f'g−fg')/g² — כלל המנה: (f/g)'=(f'g−fg')/g².
4. x = −11/3 — 5/(x−3) = 2/(x+1) ⇒ 5(x+1) = 2(x−3) ⇒ 5x+5 = 2x−6 ⇒ 3x = −11 ⇒ x = −11/3.
5. 1 ס'מ — (8+2x)(6+2x)=80 ⇒ 48+28x+4x² = 80 ⇒ 4x²+28x−32=0 ⇒ x²+7x−8=0 ⇒ (x−1)(x+8)=0 ⇒ x=1.
6. x < −2 או x > 3 — כפל ב-(−1) והפיכת סימן: x² − x − 6 > 0. שורשים: 3 ו-(−2). פרבולה צוחקת ⇒ מחוץ.
7. k = 8 — נסמן: x₁ = a, x₂ = 3a. וייטה: 3a² = 12 ⇒ a² = 4 ⇒ a = ±2. סכום = 4a = k ⇒ k = ±8. החיובי 8.
8. x = 13 — 2x + 1 = 3(x − 4) ⇒ 2x + 1 = 3x − 12 ⇒ x = 13.
9. k = 6 — צריך k/3 = 2/1 = 4/2 ⇒ k = 6 ו-2=2 ו-2=2 ✓.
10. x = 2 — תנאי x≥1. ריבוע: x²−3 = x²−2x+1 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2. בדיקה: √1 = 1 ✓.
11. x = 14/5 — כפל ב-3: 2x − 5 = 9 − 3x ⇒ 5x = 14 ⇒ x = 14/5.
12. x = 20/3 — 0.2x + 1 = 0.5x − 1 ⇒ 2 = 0.3x ⇒ x = 20/3.
13. 6x(x²+1)² — כלל שרשרת: 3(x²+1)²·2x=6x(x²+1)².
14. x = (2 ± √6)/2 — Δ = 16 + 8 = 24. x = (4 ± 2√6)/4 = (2 ± √6)/2.
15. y = 2 — מהמשוואה השנייה x = 5 − y. הצבה: 2(5−y) + 3y = 12 ⇒ 10 + y = 12 ⇒ y = 2.
16. x = 4 — העלאה בריבוע: x + 5 = 9 ⇒ x = 4. בדיקה: √9 = 3 ✓.
17. x = 15 — 7x − 3x + 12 = 5x + 5 − 8 ⇒ 4x + 12 = 5x − 3 ⇒ 15 = x.
18. (3, 2) — חיבור: 5x = 15 ⇒ x = 3, ואז y = 11 − 9 = 2.
19. lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h — הגדרת הנגזרת: f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h.
20. 5 — f'(x)=5 (קבוע).
21. x = −8 — x² − 4 = (x − 2)(x + 2). תחום: x ≠ ±2. כפל במכנה המשותף: x(x + 2) + 4(x − 2) = 8 ⇒ x² + 2x + 4x − 8 = 8 ⇒ x² + 6x − 16 = 0 ⇒ (x + 8)(x − 2) = 0 ⇒ x = −8 או x = 2. x = 2 פסול (מחוץ לתחום), ולכן x = −8.
22. e^x — הנגזרת של e^x היא e^x.
23. x > −1/2 — תנאי x+2>0 ⇒ x>−2. אז −(x+2)<x−1<x+2 ⇒ −x−2<x−1 ⇒ 2x>−1 ⇒ x>−1/2 (התנאי השני מתקיים תמיד).
24. x = 0, x = 3 — הוצאת גורם משותף: x(x − 3) = 0 ⇒ x = 0 או x = 3.
25. (3, 3) — חיבור: 6x = 18 ⇒ x = 3, ואז y = 9 − 2·3 = 3.