אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

פתרונות

1. t ≠ −1 — אם x=y: (1+t)x = 1 ⇒ x = 1/(1+t), קיים כאשר 1+t≠0 ⇒ t≠−1.
2. −4 — מכפלת השורשים לפי וייטה = c/a = −12/3 = −4.
3. 5 — צלע a. (a+3)(a−2)=24 ⇒ a²+a−6=24 ⇒ a²+a−30=0 ⇒ (a−5)(a+6)=0 ⇒ a=5.
4. x = 1 — כפל השנייה ב-2: 4x + 10y = −6. חיסור מהראשונה: −7y = 7 ⇒ y = −1, ואז 4x − 3 = 1 ⇒ x = 1.
5. x = 5 — מעבירים אגפים: 5x − 2x = 19 − 4 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5.
6. אין פתרון — תחום: x ≠ ±1. כפל במכנה המשותף (x − 1)(x + 1): 2(x + 1) + 3(x − 1) = 5(x + 1) ⇒ 2x + 2 + 3x − 3 = 5x + 5 ⇒ 5x − 1 = 5x + 5 ⇒ −1 = 5. סתירה ⇒ אין פתרון.
7. 2 ≤ x ≤ 3 — שורשים x = 2, 3. פרבולה צוחקת; ≤ 0 בין השורשים כולל.
8. y = 2 — מהמשוואה השנייה x = 5 − y. הצבה: 2(5−y) + 3y = 12 ⇒ 10 + y = 12 ⇒ y = 2.
9. 2 ≤ x ≤ 3 — שורשים 2 ו-3. פרבולה צוחקת ⇒ ≤0 בין השורשים.
10. x ≤ 3 או x ≥ 7 — |A| ≥ B שקול ל-A ≤ −B או A ≥ B. x − 5 ≤ −2 ⇒ x ≤ 3, או x − 5 ≥ 2 ⇒ x ≥ 7.
11. x < −2 — −3x > 6 ⇒ x < −2 (הפיכת סימן בחלוקה בשלילי).
12. k = 4 — (x₁−x₂)² = (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ ⇒ 9 = 25 − 4k ⇒ 4k = 16 ⇒ k = 4.
13. (3, 3) — חיבור: 6x = 18 ⇒ x = 3, ואז y = 9 − 2·3 = 3.
14. k = ±6 — Δ = k² − 36 = 0 ⇒ k² = 36 ⇒ k = ±6.
15. x = 3 ± √5 — Δ = 36 − 16 = 20. x = (6 ± 2√5)/2 = 3 ± √5.
16. x = −11/3 — 5/(x−3) = 2/(x+1) ⇒ 5(x+1) = 2(x−3) ⇒ 5x+5 = 2x−6 ⇒ 3x = −11 ⇒ x = −11/3.
17. x = 9 — ריבוע: x+7 = x²−10x+25 ⇒ x²−11x+18=0 ⇒ (x−9)(x−2)=0. תנאי x≥5: רק x=9.
18. x = 57/17 — כופלים ב-10: 5(3x−1) + 2(x+4) = 60 ⇒ 15x − 5 + 2x + 8 = 60 ⇒ 17x + 3 = 60 ⇒ 17x = 57 ⇒ x = 57/17.
19. x²+C — ∫2x dx=x²+C.
20. k = 2 — כדי שתהיה ריבועית, k ≠ 1. Δ = 4 − 4(k − 1) = 0 ⇒ k − 1 = 1 ⇒ k = 2.
21. (f'g−fg')/g² — כלל המנה: (f/g)'=(f'g−fg')/g².
22. −1 ≤ x ≤ 5 — |x − 2| ≤ 3 שקול ל-−3 ≤ x − 2 ≤ 3, ומכאן −1 ≤ x ≤ 5.
23. x = −2 — 8x + 5 = 6x − 3 + 4 = 6x + 1 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2.
24. אין פתרון — x²−1 = (x−1)(x+1). מכנה משותף: (x+1)+(x−1) = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1. אך x=1 פוסל את התחום. אין פתרון.
25. 2 < x < 3 — כפל ב-(−1) והפיכת סימן: x² − 5x + 6 < 0. שורשים 2, 3 ⇒ 2 < x < 3.