אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

פתרונות

1. x = 10/3 — 4/(x+2) = 1/(x−2) ⇒ 4(x−2) = x+2 ⇒ 4x−8 = x+2 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 10/3.
2. 1 — [x²]₀¹=1−0=1.
3. אין פתרון — כפל הראשונה ב-2: 2x + 2y = 6, אך השנייה אומרת 2x + 2y = 10 — סתירה ⇒ אין פתרון.
4. 1 ≤ x ≤ 3 — כפל ב-(−1): x² − 4x + 3 ≤ 0 ⇒ (x − 1)(x − 3) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 3.
5. x = 5, x = −2 — פירוק: (x − 5)(x + 2) = 0. סכום 3, מכפלה −10.
6. x = 4 — ריבוע: x+1 = 2x−3 ⇒ x = 4. בדיקה: √5 = √5 ✓.
7. אין פתרון — x²−1 = (x−1)(x+1). מכנה משותף: (x+1)+(x−1) = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1. אך x=1 פוסל את התחום. אין פתרון.
8. (6, 6) — כפל ב-6: 3x + 2y = 30 ; 2x + 3y = 30. חיסור: x − y = 0 ⇒ x = y. הצבה: 5x = 30 ⇒ x = 6.
9. k > 2 — Δ = 16 − 8k < 0 ⇒ k > 2.
10. x ≤ −1 או x ≥ 1 או x = 0 — x² − |x| ≥ 0 ⇒ |x|(|x|−1) ≥ 0 (כי x² = |x|²). פתרון: |x|≥1 או |x|=0 ⇒ x≤−1 או x≥1 או x=0.
11. x < 4 — 2x < 8 ⇒ x < 4.
12. x ≤ −1/2 או x ≥ 1 — Δ = 1 + 8 = 9. שורשים: (1 ± 3)/4 = 1 או −1/2. a > 0 ⇒ ≥ 0 מחוץ.
13. x ≥ −5 — כפל ב-6: 3(x − 1) ≤ 2(2x + 1) ⇒ 3x − 3 ≤ 4x + 2 ⇒ −5 ≤ x.
14. x = 3 — מעבירים: −2x = −6 ⇒ x = 3.
15. x ≤ −4 או x ≥ 3 — |2x+1|≥7 ⇒ 2x+1 ≥ 7 או 2x+1 ≤ −7 ⇒ x≥3 או x≤−4.
16. x = 1, x = −2/5 — Δ = 9 + 40 = 49. x = (3 ± 7)/10 ⇒ x = 1 או x = −2/5.
17. כל k אפשרי שמקיים Δ ≥ 0 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = 8/2 = 4, ללא תלות ב-k. לכן התנאי מתקיים בעבור כל k שעבורו יש שורשים ממשיים: Δ = k² − 64 ≥ 0 ⇒ |k| ≥ 8.
18. −2 ≤ x ≤ 8 — |x−3|≤5 ⇒ −5 ≤ x−3 ≤ 5 ⇒ −2 ≤ x ≤ 8.
19. x < −3/2 או x > 3/2 — 4x² > 9 ⇒ x² > 9/4. שורשים ±3/2. פרבולה צוחקת ⇒ > 0 מחוץ.
20. x = 3, x = 5 — פירוק: (x − 3)(x − 5) = 0. סכום 8, מכפלה 15.
21. −5 ≤ x ≤ 5 — שורשים ±5. פרבולה צוחקת ⇒ ≤ 0 בין השורשים.
22. k = 7 — וייטה: סכום = 7, מכפלה = k. שוויון ⇒ k = 7.
23. k = 1 — מכפלת השורשים = −12 < 0 ⇒ לשורשים סימנים מנוגדים. נסמן x₁ > 0 ו-x₂ < 0, אז |x₂| = −x₂. התנאי |x₂| = x₁ + 1 נותן −x₂ = x₁ + 1, כלומר x₁ + x₂ = −1. לפי וייטה x₁ + x₂ = −k, ולכן −k = −1 ⇒ k = 1.
24. k = 2 — צריך יחס שווה: k/1 = 4/2 = 6/3 ⇒ k = 2.
25. m ≠ ±1 — דטרמיננטה m·m − 1·1 = m²−1. פתרון יחיד כאשר m²−1≠0 ⇒ m≠±1.