אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י')

פתרונות

1. k = ±4 — Δ = k² − 16 = 0 ⇒ k² = 16 ⇒ k = ±4.
2. y = 3 — מהראשונה x = 8 − 2y. הצבה: 3(8 − 2y) + 4y = 18 ⇒ 24 − 2y = 18 ⇒ y = 3.
3. x = 11 — פותחים: 5x − 10 = 3x + 12 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11.
4. 3 שעות — א' לוקח x, ב' לוקח x+3. 1/x + 1/(x+3) = 1/2. כפל ב-2x(x+3): 2(x+3)+2x = x(x+3) ⇒ x²−x−6=0 ⇒ x=3.
5. אינסוף פתרונות — פתיחת סוגריים: 2x − 2 − 4 = 2x − 6 ⇒ 2x − 6 = 2x − 6, זהות ⇒ אינסוף פתרונות.
6. k = 2 — סמן שורשים t ו-−2t. סכום: −t = −(k−3) ⇒ t = k−3. מכפלה: −2t² = −k ⇒ 2t² = k. הצב: 2(k−3)² = k ⇒ 2k²−13k+18 = 0 ⇒ Δ=169−144=25 ⇒ k=(13±5)/4 ⇒ k=9/2 או k=2.
7. −2 — וייטה: מכפלה = c/a = −8/4 = −2.
8. k = 6 — אם k=6 — המשוואה השנייה היא 2·(הראשונה) במקדמים, אך 10≠14. ⇒ אין פתרון.
9. 4 ו-8 — וייטה: שורשי t²−12t+32=0 ⇒ (t−4)(t−8)=0.
10. −4 — מכפלת השורשים לפי וייטה = c/a = −12/3 = −4.
11. k < 4 — Δ = 16 − 4k > 0 ⇒ k < 4.
12. −2 ≤ x ≤ 2 — 3x² ≤ 12 ⇒ x² ≤ 4 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2.
13. x = 4, x = −4 — הפרש ריבועים: (x − 4)(x + 4) = 0 ⇒ x = ±4.
14. (3, 4) — חיבור: 8x = 24 ⇒ x = 3, ואז 2y = 23 − 15 = 8 ⇒ y = 4.
15. −3 < x < 3 — שורשים ±3. פרבולה צוחקת, < 0 בין השורשים.
16. x = 3 ± √5 — Δ = 36 − 16 = 20. x = (6 ± 2√5)/2 = 3 ± √5.
17. t ≠ −1 — אם x=y: (1+t)x = 1 ⇒ x = 1/(1+t), קיים כאשר 1+t≠0 ⇒ t≠−1.
18. אין פתרון — תחום: x ≠ ±1. כפל במכנה המשותף (x − 1)(x + 1): 2(x + 1) + 3(x − 1) = 5(x + 1) ⇒ 2x + 2 + 3x − 3 = 5x + 5 ⇒ 5x − 1 = 5x + 5 ⇒ −1 = 5. סתירה ⇒ אין פתרון.
19. −2 ≤ x < 7 — חיסור 2: −7 < −x ≤ 2. כפל ב-(−1) והפיכת סימן: −2 ≤ x < 7.
20. 2 < x < 3 — כפל ב-(−1) והפיכת סימן: x² − 5x + 6 < 0. שורשים 2, 3 ⇒ 2 < x < 3.
21. lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h — הגדרת הנגזרת: f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h.
22. x = 4 — חיבור: 3x = 12 ⇒ x = 4.
23. x = 3, x = −7 — פירוק: (x − 3)(x + 7) = 0. סכום −4, מכפלה −21.
24. x ≤ −3 או x ≥ 2 — פירוק: (x + 3)(x − 2). שורשים −3, 2. פרבולה צוחקת ⇒ ≥ 0 מחוץ.
25. x = 1 — כפל השנייה ב-2: 4x + 10y = −6. חיסור מהראשונה: −7y = 7 ⇒ y = −1, ואז 4x − 3 = 1 ⇒ x = 1.