סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $92$ — ממוצע משוקלל $= \frac{84\cdot1+94\cdot4}{1+4} = \frac{460}{5} = 92$.
2. $\frac{2}{5}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{3}+P(B)\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$.
3. $\frac{1}{12}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $4$ הוא $3$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
4. $\frac{5}{33}$ — בשליפה ראשונה $\frac{5}{12}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{4}{11}$. המכפלה $\frac{5}{33}$.
5. $\sqrt{\dfrac{8}{3}}$ — מחשבים את השונות כממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע $\bar{x}=3$: $$\sigma^2 = \frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3}$$ סטיית התקן היא שורש השונות: $$\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.633$$
6. $12$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 16 - 4 = 12$.
7. $2$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $2$ מופיע $2$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
8. $\frac{1}{16}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{3}{12}\cdot\frac{3}{12}=\frac{1}{16}$.
9. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$.
10. $\frac{7}{20}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{3}+P(B)\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7}{20}$.
11. $\frac{7}{12}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$.
12. $85$ — ממוצע משוקלל $= \frac{100\cdot1+80\cdot3}{1+3} = \frac{340}{4} = 85$.
13. $\frac{1}{6}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
14. $\frac{3}{28}$ — בשליפה ראשונה $\frac{3}{8}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{2}{7}$. המכפלה $\frac{3}{28}$.
15. $\frac{4}{5}$ — מבין $20$ הבנים, $16$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{4}{5}$.
16. $86$ — ממוצע משוקלל $= \frac{90\cdot4+70\cdot1}{4+1} = \frac{430}{5} = 86$.
17. $\frac{2}{5}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
18. $83$ — ממוצע משוקלל $= \frac{65\cdot2+95\cdot3}{2+3} = \frac{415}{5} = 83$.
19. $\frac{7}{16}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$.
20. $\frac{3}{5}$ — האיחוד הוא $\{2,4,5,6,8,10\}$ — $6$ תוצאות מתוך $10$. ההסתברות $= \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
21. $10$ — ממוצע $= \frac{5+10+15}{3} = \frac{30}{3} = 10$.
22. $30$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 300\cdot \frac{1}{10} = 30$.
23. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
24. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
25. $\frac{5}{13}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{5}{13}$.
26. $\frac{1}{2}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{2}$.
27. $\frac{1}{5}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$.
28. $8$ — ממוצע $= \frac{6+6+12}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
29. $\frac{1}{18}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $11$ הוא $2$, ולכן ההסתברות $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
30. $\frac{2}{5}$ — $4$ מגזרים מתאימים מתוך $10$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{2}{5}$.