סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $\frac{1}{12}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$.
2. $\frac{1}{6}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $7$ הוא $6$, ולכן ההסתברות $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
3. $25\%$ — $ \frac{1}{4} = 25\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
4. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
5. $2$ — $12 - 10 = 2$.
6. $10$ — ממוצע $= \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
7. $\frac{2}{5}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{2}+P(B)\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$.
8. $50\%$ — $ \frac{1}{2} = 50\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
9. $\frac{1}{18}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $3$ הוא $2$, ולכן ההסתברות $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
10. $\frac{1}{3}$ — $3$ מגזרים מתאימים מתוך $9$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{1}{3}$.
11. $\frac{8}{25}$ — מספר הבנים שעברו הוא $16$ מתוך סך $50$ תלמידים, ולכן ההסתברות היא $\frac{16}{50} = \frac{8}{25}$. המסיח $\frac{2}{5} = \frac{20}{50}$ מייצג טעות נפוצה של חיבור בנים שעברו ובנים שנכשלו ($16+4=20$) במקום לקחת רק את אלה שעברו.
12. $\frac{1}{12}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{11}{12} = \frac{12-11}{12} = \frac{1}{12}$.
13. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
14. $\frac{1}{2}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
15. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}$.
16. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
17. $\frac{1}{4}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
18. $\frac{2}{5}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
19. $\frac{1}{25}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25} = \frac{1}{25}$.
20. $\frac{1}{5}$ — סך הכדורים $2+8=10$. מספר הכדורים בצבע צהוב הוא $2$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{5}$.
21. $20$ — מכיוון שהסדר אינו חשוב, משתמשים בצירופים: $\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=\frac{120}{6}=20$.
22. $\frac{5}{9}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
23. $3$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 2, 3, 4, 5$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $1, 2, 3, 4, 5$ הוא $3$.
24. $20\%$ — $ \frac{1}{5} = 20\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
25. $\frac{1}{221}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$.
26. $\frac{1}{6}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.
27. $10$ — שכיחות $= $ שכיחות יחסית כפול סך הכל $= 0.25 \cdot 40 = 10$.
28. $\frac{3}{5}$ — לפי נוסחת ההכלה וההפרדה $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$.
29. $8$ — השכיח הוא הערך המופיע הכי הרבה פעמים בסדרת הנתונים. סופרים את תדירות כל ערך: $8$ מופיע $2$ פעמים, $9$ מופיע פעם אחת. לכן השכיח הוא $8$. (הערך $8.\overline{3}$ הוא הממוצע: $\frac{8+8+9}{3}=\frac{25}{3}\approx8.\overline{3}$, אך הממוצע שונה מהשכיח.)
30. $\frac{1}{25}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{2}{10}\cdot\frac{2}{10}=\frac{1}{25}$.