סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $7$ — השכיח הוא הערך המופיע הכי הרבה פעמים בסדרה. סופרים את מספר ההופעות של כל ערך: $5$ מופיע פעם אחת, $6$ מופיע פעמיים, $7$ מופיע שלוש פעמים. מאחר ש-$7$ מופיע יותר מכל ערך אחר, השכיח הוא $7$.
2. $3$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 2, 3, 4, 5$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $1, 2, 3, 4, 5$ הוא $3$.
3. $\frac{2}{5}$ — $4$ מגזרים מתאימים מתוך $10$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{2}{5}$.
4. $\frac{3}{8}$ — הסתברות = מספר המקרים הרצויים ÷ כלל המקרים השווים. הגלגל מחולק ל-$8$ חלקים שווים ו-$3$ מהם אדומים, לכן ההסתברות היא $\frac{3}{8}$.
5. $\frac{2}{5}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{5-3}{5} = \frac{2}{5}$.
6. $\frac{2}{3}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
7. $\frac{1}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $12$ הוא $1$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{36}=\frac{1}{36}$.
8. $\frac{5}{9}$ — לפי נוסחת ההכלה וההפרדה $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{4}{9}+\frac{1}{3}-\frac{2}{9}=\frac{5}{9}$.
9. $\frac{2}{7}$ — הסתברות מחושבת כ-$\frac{\text{מספר המקרים הרצויים}}{\text{סך כל המקרים האפשריים}}$. בכד $7$ כדורים ו-$2$ מהם זהב, ולכן ההסתברות היא $\frac{\text{מספר כדורי זהב}}{\text{סך כל הכדורים}} = \frac{2}{7}$.
10. $\frac{1}{9}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$.
11. $\frac{1}{3}$ — $3$ מגזרים מתאימים מתוך $9$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{1}{3}$.
12. $92$ — ממוצע משוקלל $= \frac{84\cdot1+94\cdot4}{1+4} = \frac{460}{5} = 92$.
13. $\frac{5}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $8$ הוא $5$, ולכן ההסתברות $\frac{5}{36}=\frac{5}{36}$.
14. $20$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $10, 10, 20, 30, 40$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $10, 10, 20, 30, 40$ הוא $20$.
15. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
16. $0$ — השונות שווה לממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: $\frac{(2-2)^2+(2-2)^2+(2-2)^2+(2-2)^2}{4} = 0$. סטיית התקן $= \sqrt{0} = 0$.
17. $\frac{11}{30}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{3}{5}+P(B)\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{11}{30}$.
18. $\frac{1}{2}$ — מספר הבנים שעברו $25$ מתוך $50$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{2}$.
19. $\frac{5}{12}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי מספר כלל המקרים האפשריים. מספר התלמידים עם משקפיים: $5$. סך כל התלמידים: $12$. לכן ההסתברות היא $\frac{5}{12}$.
20. $\frac{1}{4}$ — לאורך הענף עץ-עץ מכפילים $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
21. $\frac{7}{20}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{3}+P(B)\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7}{20}$.
22. $\frac{1}{6}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.
23. $\frac{5}{6}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
24. $2$ — $12 - 10 = 2$.
25. $\frac{1}{4}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
26. $5$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 5, 9$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $1, 5, 9$ הוא $5$.
27. $5$ — הערך $5$ מופיע $5$ פעמים — יותר מכל ערך אחר, ולכן $5$ הוא השכיח.
28. $\frac{1}{2}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
29. $20$ — מכיוון שהסדר אינו חשוב, משתמשים בצירופים: $\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=\frac{120}{6}=20$.
30. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.