סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $5$ — הערך $5$ מופיע $5$ פעמים — יותר מכל ערך אחר, ולכן $5$ הוא השכיח.
2. $\frac{5}{8}$ — האיחוד $\{1,2,3,7,8\}$ — $5$ מתוך $8$. ההסתברות $= \frac{5}{8}$.
3. $\frac{3}{5}$ — לפי נוסחת ההכלה וההפרדה $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{3}{10}=\frac{3}{5}$.
4. $\frac{1}{2}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
5. $\frac{2}{3}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$.
6. $70$ — ממוצע משוקלל $= \frac{60\cdot2+90\cdot1}{2+1} = \frac{210}{3} = 70$.
7. $\frac{7}{10}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$.
8. $2$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $2$ מופיע $2$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
9. $\frac{2}{9}$ — בשליפה ראשונה $\frac{5}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{4}{9}$. המכפלה $\frac{2}{9}$.
10. $\frac{7}{8}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$.
11. $\frac{3}{8}$ — $3$ מגזרים מתאימים מתוך $8$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{3}{8}$.
12. $16$ — ממוצע $= \frac{14+16+18}{3} = \frac{48}{3} = 16$.
13. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$.
14. $9$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $9$ מופיע $3$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
15. $\sqrt{2.6666666666666665}$ — השונות שווה לממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: $\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3} = 2.6666666666666665$. סטיית התקן $= \sqrt{2.6666666666666665} = \sqrt{2.6666666666666665}$.
16. $\frac{7}{15}$ — בשליפה ראשונה $\frac{7}{10}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{6}{9}$. המכפלה $\frac{7}{15}$.
17. $12$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 16 - 4 = 12$.
18. $\frac{1}{5}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
19. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}$.
20. $20$ — ממוצע $= \frac{10\cdot1+20\cdot2+30\cdot1}{4} = \frac{80}{4} = 20$.
21. $\frac{1}{6}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.
22. $\frac{1}{8}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{8}$.
23. $\frac{1}{4}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$.
24. $\frac{5}{8}$ — לפי נוסחת ההכלה וההפרדה $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$.
25. $\frac{1}{5}$ — $1$ מגזרים מתאימים מתוך $5$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{1}{5}$.
26. $\frac{3}{4}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$.
27. $\frac{2}{5}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.
28. $\frac{3}{10}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
29. $5$ — ממוצע $= \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
30. $\frac{2}{3}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.