אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. שליש — קצב העבודה $= \frac{1}{6}$ לשעה. ב-2 שעות: $2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
2. 12 — נסמן הבן x, האבא 3x. אז $x + 3x = 48 → 4x = 48 → x = 12$.
3. $x = 3$ — נעביר את 2 לאגף ימין: $9x = 29 - 2 = 27$. נחלק ב-$9: x = \frac{27}{9} = 3$.
4. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
5. 32% — כמות החומר $= 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 = 1 + 0.6 = 1.6$ ליטר. נפח כולל $= 5$ ליטר. ריכוז $= 1.\frac{6}{5} = 0.32 = 32%$.
6. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
7. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
8. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
9. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
10. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
11. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
12. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
13. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
14. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
15. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
16. $x \ge 4$ — $2x \ge 8 → x \ge 4$.
17. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
18. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
19. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
20. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
21. 15 ו-5 — $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. אז $3y + y = 20, 4y = 20, y = 5, x = 15$.
22. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 4 + (2) \cdot 4 = 16$, וכן $3 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 8$.
23. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
24. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
25. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
26. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.
27. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
28. 20 — נסמן רון x, דן x+5. אז $x + (x+5) = 35 → 2x = 30 → x = 15$, ודן $x+5 = 20$.
29. $x = 2$ או $x = 3$ — $a=1, b=-5, c=6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 1$, ו-$\sqrt{1} = 1. x = \frac{5 \pm 1}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 3$.
30. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
31. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
32. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
33. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
34. $x = 5$ — נעביר את 5 לאגף ימין: $3x = 20 - 5 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
35. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.