אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
2. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
3. $x = -5$ או $x = 1$ — $a=1, b=4, c=-5$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-5) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{-4 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = 1$.
4. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
5. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
6. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
7. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
8. x < 4 — 2x < 8 → x < 4.
9. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $8x - 3x = 11 - (-4)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
10. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.
11. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
12. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
13. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
14. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
15. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
16. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
17. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
18. 7x — איברים דומים: $4x + 3x = 7x$.
19. 200 ש"ח — אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מהמחיר: $0.8 \cdot x = 160$, ולכן $x = \frac{160}{0}.8 = 200$ ש"ח.
20. $x \le 5$ — $x \le 5$.
21. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
22. $(x + 4)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2} = (x+4)^{2}$.
23. אף פתרון — $x^{2} = -4$, אך אין מספר ממשי שריבועו שלילי. דיסקרימיננטה $= 0 - 16 = -16 < 0$, לכן אין פתרון.
24. $x = -6$ או $x = 2$ — $a=1, b=4, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-12) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{-4 \pm 8}{2}$, ולכן $x = -6$ או $x = 2$.
25. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
26. $x = 7$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $5x = 35 - 0 = 35$. נחלק ב-$5: x = \frac{35}{5} = 7$.
27. $x \le 5$ — $x \le 5$.
28. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
29. $x = -3$ או $x = 1$ — $a=1, b=2, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$, ו-$\sqrt{16} = 4. x = \frac{-2 \pm 4}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 1$.
30. $x = 5, y = 3$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 5, y = 3$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (2) \cdot 3 = 11$, וכן $2 \cdot 5 + (1) \cdot 3 = 13$.
31. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
32. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
33. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
34. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
35. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.