אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
2. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
3. $x = -4$ או $x = 2$ — $a=1, b=2, c=-8$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36$, ו-$\sqrt{36} = 6. x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = 2$.
4. $x \ge 4$ — $x \ge 4$.
5. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
6. $x = 4, y = 1$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 1$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = 3$, וכן $2 \cdot 4 + (1) \cdot 1 = 9$.
7. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
8. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
9. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.
10. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
11. 12 — נסמן הבן x, האבא 3x. אז $x + 3x = 48 → 4x = 48 → x = 12$.
12. 7x — איברים דומים: $4x + 3x = 7x$.
13. $x = 0$ או $x = 7$ — מכפלה שווה אפס כאשר אחד הגורמים אפס: $x = 0$ או $x - 7 = 0$, כלומר $x = 7$.
14. 6a — $7a - 3a + 2a = 6a$.
15. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
16. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.
17. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
18. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
19. 10 ש"ח — $2 \cdot 30 + g = 70 → 60 + g = 70 → g = 10$ ש"ח.
20. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
21. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
22. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
23. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.
24. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 3x = 11 - (-1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
25. 8 ו-4 — נסמן $x+y=12, x-y=4$. נחבר את המשוואות: $2x = 16, x = 8$, ואז $y = 4$.
26. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
27. x < 4 — 2x < 8 → x < 4.
28. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
29. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
30. 15 ו-5 — $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. אז $3y + y = 20, 4y = 20, y = 5, x = 15$.
31. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
32. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (3) \cdot 4 = 18$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -1$.
33. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
34. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
35. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.