אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
2. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
3. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
4. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
5. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
6. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
7. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
8. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
9. 3x — $6\frac{x}{2} = 3x$.
10. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
11. $x \ge 4$ — $2x \ge 8 → x \ge 4$.
12. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
13. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
14. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
15. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
16. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
17. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
18. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
19. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
20. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
21. 8 ו-4 — נסמן $x+y=12, x-y=4$. נחבר את המשוואות: $2x = 16, x = 8$, ואז $y = 4$.
22. $x = 2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-10, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (16) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{10 \pm 6}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 8$.
23. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
24. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
25. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
26. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
27. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
28. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
29. $x = 7$ או $x = -7$ — נוציא שורש לשני האגפים: $x = \pm \sqrt{49} = \pm 7$. לכן $x = 7$ או $x = -7$.
30. $x = 4, y = 1$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 1$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = 3$, וכן $2 \cdot 4 + (1) \cdot 1 = 9$.
31. 1 שעה — להולך יתרון של $5 \cdot 2 = 10$ ק"מ. מהירות ההתקרבות $= 15 - 5 = 10$ קמ"ש. הזמן $= \frac{10}{10} = 1$ שעה.
32. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
33. $x \le 5$ — $x \le 5$.
34. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
35. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.