אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
2. 12 — נסמן הבן x, האבא 3x. אז $x + 3x = 48 → 4x = 48 → x = 12$.
3. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
4. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
5. $x = 5$ — $5x + 5 = 2x + 20 → 3x = 15 → x = 5$.
6. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
7. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
8. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
9. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $4 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 14$, וכן $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$.
10. $x \le 5$ — $x \le 5$.
11. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
12. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
13. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
14. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
15. x < -3 — מחלקים ב-(-2) והופכים את הסימן: x < -3.
16. $x = -2$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 3 - (9)$, כלומר $3x = -6$. לכן $x = -\frac{6}{3} = -2$.
17. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
18. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
19. $x = 6$ — מכנה משותף $3: 3\frac{x}{3} - \frac{x}{3} = 2\frac{x}{3} = 4 → 2x = 12 → x = 6$.
20. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
21. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
22. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
23. $(x + 3)^{2}$ — ריבוע שלם: $(x+3)^{2}$.
24. 4(x + 2) — גורם משותף 4: 4(x + 2).
25. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
26. 8 ש"ח — נסמן מחיר מחברת $m: 3m + 5 = 29 → 3m = 24 → m = 8$ ש"ח.
27. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
28. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
29. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
30. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.
31. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3.
32. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
33. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
34. $(x + 4)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2} = (x+4)^{2}$.
35. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.