אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
2. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
3. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
4. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
5. $x = 3$ — נעביר את 1 לאגף ימין: $8x = 25 - 1 = 24$. נחלק ב-$8: x = \frac{24}{8} = 3$.
6. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
7. $x = 4$ או $x = 4$ — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 4$.
8. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
9. $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$ — $a=3, b=-10, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (3) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{10 \pm 8}{6}$, ולכן $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$.
10. 3x — $6\frac{x}{2} = 3x$.
11. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
12. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
13. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
14. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
15. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
16. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
17. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
18. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
19. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
20. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
21. $x \le 5$ — $x \le 5$.
22. $x = 15$ — $2x = 30 → x = 15$.
23. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
24. 2x — $8\frac{x}{4} = 2x$.
25. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
26. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
27. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.
28. 20% — כמות החומר $= 4 \cdot 0.25 = 1$ ליטר. נפח כולל $= 1 + 4 = 5$ ליטר. ריכוז $= \frac{1}{5} = 0.20 = 20%$.
29. $x = 12$ — מכנה משותף $4: 2\frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 3\frac{x}{4} = 9 → 3x = 36 → x = 12$.
30. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
31. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 3x = 11 - (-1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
32. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
33. $x = 9$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $6x = 54 - 0 = 54$. נחלק ב-$6: x = \frac{54}{6} = 9$.
34. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
35. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.