אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.
2. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
3. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
4. $x = 5$ — נעביר את -8 לאגף ימין: $3x = 7 + 8 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
5. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
6. $x = 7$ או $x = -7$ — נוציא שורש לשני האגפים: $x = \pm \sqrt{49} = \pm 7$. לכן $x = 7$ או $x = -7$.
7. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
8. $x \ge 4$ — $x \ge 4$.
9. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
10. $x = -2$ או $x = 5$ — $a=1, b=-3, c=-10$. דיסקרימיננטה $= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{3 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 5$.
11. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
12. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 3x = 11 - (-1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
13. $x = 2$ או $x = 9$ — $a=1, b=-11, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{11 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 9$.
14. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
15. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 7$, וכן $2 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 10$.
16. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
17. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
18. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
19. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
20. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
21. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
22. 60 — $\frac{x}{5} = 12 → x = 60$.
23. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
24. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
25. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
26. $x = 5$ או $x = 5$ — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ או $x = 5$.
27. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
28. x > 4 — 2x > 8 → x > 4.
29. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
30. $x = 6$ — מכנה משותף $3: 3\frac{x}{3} - \frac{x}{3} = 2\frac{x}{3} = 4 → 2x = 12 → x = 6$.
31. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
32. $x = 0$ או $x = 7$ — מכפלה שווה אפס כאשר אחד הגורמים אפס: $x = 0$ או $x - 7 = 0$, כלומר $x = 7$.
33. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
34. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
35. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.