אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
2. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
3. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
4. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
5. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
6. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
7. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
8. 6a — $7a - 3a + 2a = 6a$.
9. 200 ש"ח — אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מהמחיר: $0.8 \cdot x = 160$, ולכן $x = \frac{160}{0}.8 = 200$ ש"ח.
10. $x = 5$ או $x = -5$ — $x^{2} = 25$, ולכן $x = \pm 5. ($אפשר גם לפרק: $(x-5)(x+5)=0.)$
11. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
12. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
13. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
14. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
15. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
16. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
17. $x = -2$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 3 - (9)$, כלומר $3x = -6$. לכן $x = -\frac{6}{3} = -2$.
18. $(x + 3)^{2}$ — ריבוע שלם: $(x+3)^{2}$.
19. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.
20. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
21. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
22. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
23. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
24. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
25. 14 — $x = 2 \cdot 5 + 4 = 14$.
26. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
27. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $10x - 6x = 13 - (1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
28. $x = 5, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 9$, וכן $3 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 19$.
29. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $3x - 8x = -5 - (10)$, כלומר -$5x = -15$. לכן $x = -15/-5 = 3$.
30. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
31. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
32. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
33. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
34. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
35. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.