אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
2. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
3. $x \le 5$ — מחלקים את שני האגפים ב-$2$ (מספר חיובי — סימן אי-השוויון נשאר): $\frac{2x}{2} \le \frac{10}{2}$, ומקבלים $x \le 5$.
4. x(x + 2) — גורם משותף x: x(x + 2).
5. 5 חודשים — $350 + 50t = 600 → 50t = 250 → t = 5$.
6. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.
7. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.
8. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
9. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
10. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
11. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
12. $x = -3$ או $x = 4$ — $a=1, b=-1, c=-12$. דיסקרימיננטה $= (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{1 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -3$ או $x = 4$.
13. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
14. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
15. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
16. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
17. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
18. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
19. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
20. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
21. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
22. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
23. $(x - 5)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = (x-5)^{2}$.
24. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
25. $x \ge 3$ — $-2x \le -6 → x \ge 3 ($היפוך סימן).
26. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
27. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
28. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
29. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
30. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
31. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
32. 90 קמ"ש — מהירות $=$ מרחק $/$ זמן $= \frac{360}{4} = 90$ קמ"ש.
33. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
34. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
35. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.