אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = -4$ או $x = 2$ — $a=1, b=2, c=-8$. דיסקרימיננטה $= (2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36$, ו-$\sqrt{36} = 6. x = \frac{-2 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = 2$.
2. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
3. 20 — היום יוסי בן $10 + 4 = 14$. בעוד 6 שנים: $14 + 6 = 20$.
4. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
5. 60 ש"ח — ההנחה $= 25%$ מ-$80 = 20$ ש"ח. המחיר $= 80 - 20 = 60$ ש"ח.
6. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
7. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
8. $x = 1$ או $x = 4$ — $a=1, b=-5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 4$.
9. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
10. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
11. x < -3 — מחלקים ב-(-2) והופכים את הסימן: x < -3.
12. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
13. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
14. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
15. $x = 12$ — מכנה משותף $4: 2\frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 3\frac{x}{4} = 9 → 3x = 36 → x = 12$.
16. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
17. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
18. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
19. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
20. 4 ימים — סך העבודה $= 3 \cdot 8 = 24$ ימי-פועל. עם 6 פועלים: $\frac{24}{6} = 4$ ימים. (יחס הפוך.)
21. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
22. 28 — $\frac{x}{4} + 5 = 12 → \frac{x}{4} = 7 → x = 28$.
23. $x = 3$ — נעביר את 1 לאגף ימין: $8x = 25 - 1 = 24$. נחלק ב-$8: x = \frac{24}{8} = 3$.
24. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
25. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
26. 18 — בנים $= 40%$ מ-$30 = 12$. בנות $= 30 - 12 = 18. ($או 60% מ-$30 = 18.)$
27. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
28. $(x + 3)^{2}$ — ריבוע שלם: $(x+3)^{2}$.
29. $x = 5, y = 3$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 5, y = 3$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (2) \cdot 3 = 11$, וכן $2 \cdot 5 + (1) \cdot 3 = 13$.
30. 3 שעות — הרכבים מתקרבים, לכן המהירות היחסית $= 60 + 40 = 100$ קמ"ש. זמן המפגש $= \frac{300}{100} = 3$ שעות.
31. $x = 3$ — נעביר את 2 לאגף ימין: $9x = 29 - 2 = 27$. נחלק ב-$9: x = \frac{27}{9} = 3$.
32. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
33. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (3) \cdot 4 = 18$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = -1$.
34. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $10x - 6x = 13 - (1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
35. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.