אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 7$, וכן $2 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 10$.
2. $(x + 4)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2} = (x+4)^{2}$.
3. $x = -4$ — נעביר את 11 לאגף ימין: $2x = 3 - 11 = -8$. נחלק ב-$2: x = -\frac{8}{2} = -4$.
4. $x = -2$ או $x = 8$ — $a=1, b=-6, c=-16$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (-16) = 100, \sqrt{100} = 10. x = \frac{6 \pm 10}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 8$.
5. $x = -2$ או $x = 5$ — $a=1, b=-3, c=-10$. דיסקרימיננטה $= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{3 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 5$.
6. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
7. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
8. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
9. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
10. $x = 4, y = 1$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 1$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = 3$, וכן $2 \cdot 4 + (1) \cdot 1 = 9$.
11. $x = 3$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-6, c=9$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (9) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{6 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 3$ (פתרון כפול).
12. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
13. 3(2x + 3) — גורם משותף 3: 3(2x + 3).
14. 8 ש"ח — נסמן מחיר מחברת $m: 3m + 5 = 29 → 3m = 24 → m = 8$ ש"ח.
15. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
16. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
17. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
18. 42 ש"ח — מחיר לק"ג $= \frac{24}{4} = 6$ ש"ח. עבור 7 ק"ג: $7 \cdot 6 = 42$ ש"ח.
19. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
20. $x = 7$ — נעביר את -5 לאגף ימין: $2x = 9 + 5 = 14$. נחלק ב-$2: x = \frac{14}{2} = 7$.
21. $x = 12$ — מכנה משותף $4: 2\frac{x}{4} + \frac{x}{4} = 3\frac{x}{4} = 9 → 3x = 36 → x = 12$.
22. x(x + 2) — גורם משותף x: x(x + 2).
23. $x = 3$ — נעביר את 1 לאגף ימין: $8x = 25 - 1 = 24$. נחלק ב-$8: x = \frac{24}{8} = 3$.
24. -x + 5 — מינוס לפני סוגריים הופך סימנים: -x + 5.
25. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
26. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
27. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
28. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
29. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
30. $x = 7$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $5x = 35 - 0 = 35$. נחלק ב-$5: x = \frac{35}{5} = 7$.
31. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
32. $\frac{3x}{4}$ — מכנה משותף $4: \frac{2x + x}{4} = 3\frac{x}{4}$.
33. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
34. (x - 2)(x - 3) — מכפלה 6 וסכום -5: -2 ו-3-.
35. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).