אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. 16 ש"ח — עלות כוללת $= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 20 = 40 + 120 = 160$ ש"ח. משקל כולל $= 10$ ק"ג. ממוצע $= \frac{160}{10} = 16$ ש"ח.
2. (x - 7)(x + 7) — הפרש ריבועים: (x-7)(x+7).
3. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
4. 3 שעות — זמן $=$ מרחק $/$ מהירות $= \frac{240}{80} = 3$ שעות.
5. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.
6. 7x — איברים דומים: $4x + 3x = 7x$.
7. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
8. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
9. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
10. $x = 7$ — $3x - 12 = 9 → 3x = 21 → x = 7$.
11. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
12. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
13. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
14. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
15. 3(2x + 3) — גורם משותף 3: 3(2x + 3).
16. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
17. $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$ — $a=3, b=-10, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (3) = 64, \sqrt{64} = 8. x = \frac{10 \pm 8}{6}$, ולכן $x = \frac{1}{3}$ או $x = 3$.
18. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
19. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
20. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
21. $x > 3$ — מבודדים את $x$ על ידי הוספת $3$ לשני אגפי אי-השוויון: $x - 3 + 3 > 0 + 3$, ומקבלים $x > 3$. סימן אי-השוויון נשמר כי לא כפלנו ולא חילקנו במספר שלילי.
22. $x = -5$ או $x = 1$ — $a=1, b=4, c=-5$. דיסקרימיננטה $= (4)^{2} - 4 \cdot (-5) = 36, \sqrt{36} = 6. x = \frac{-4 \pm 6}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = 1$.
23. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
24. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
25. $x = 14$ — נוסיף 9 לשני האגפים: $x = 5 + 9 = 14$.
26. x < 4 — נחסר 5: x < 4.
27. 2x(x + 2) — גורם משותף 2x: 2x(x + 2).
28. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.
29. 2x — $8\frac{x}{4} = 2x$.
30. $x = 7$ — נעביר את -5 לאגף ימין: $2x = 9 + 5 = 14$. נחלק ב-$2: x = \frac{14}{2} = 7$.
31. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
32. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $3x - 8x = -5 - (10)$, כלומר -$5x = -15$. לכן $x = -15/-5 = 3$.
33. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
34. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
35. $x = 0$ או $x = 7$ — מכפלה שווה אפס כאשר אחד הגורמים אפס: $x = 0$ או $x - 7 = 0$, כלומר $x = 7$.