אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
2. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
3. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
4. (x - 3)(x + 3) — הפרש ריבועים: $x^{2} - 3^{2} = (x-3)(x+3)$.
5. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
6. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
7. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
8. x > -5 — -x < 5 → x > -5 (היפוך סימן).
9. 15 — $4 \cdot n = 60 → n = 15$.
10. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
11. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
12. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
13. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
14. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
15. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
16. $x = 3$ — נעביר את 1 לאגף ימין: $8x = 25 - 1 = 24$. נחלק ב-$8: x = \frac{24}{8} = 3$.
17. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
18. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
19. 2a + 6b — $3a - a + 2b + 4b = 2a + 6b$.
20. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 3x = 11 - (-1)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
21. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
22. 8 ש"ח — נסמן עט x ומחברת x+6. אז $x + (x+6) = 22 → 2x = 16 → x = 8$ ש"ח.
23. 8 ש"ח — נסמן מחיר מחברת $m: 3m + 5 = 29 → 3m = 24 → m = 8$ ש"ח.
24. $x = 7$ — $3x - 12 = 9 → 3x = 21 → x = 7$.
25. $x = 5, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 9$, וכן $3 \cdot 5 + (1) \cdot 4 = 19$.
26. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
27. 5x - 3 — $6x - 3 - x = 5x - 3$.
28. $x = 8$ — $-\frac{x}{2} = -4 → x = 8$.
29. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
30. 220 ש"ח — הטיפ $= 10%$ מ-$200 = 20$ ש"ח. סך הכל $= 200 + 20 = 220$ ש"ח.
31. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
32. $x^{2} - 1$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 1$.
33. $x = 3$ — נעביר את 2 לאגף ימין: $9x = 29 - 2 = 27$. נחלק ב-$9: x = \frac{27}{9} = 3$.
34. 6x + 6 — $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
35. $x = 4$ — $6x + 12 = 4x + 20 → 2x = 8 → x = 4$.