אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. 5a - b — $2a + 2b + 3a - 3b = 5a - b$.
2. 2x — $8\frac{x}{4} = 2x$.
3. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
4. 8 — $2x + 7 = 23 → 2x = 16 → x = 8$.
5. 12 — נסמן הבן x, האבא 3x. אז $x + 3x = 48 → 4x = 48 → x = 12$.
6. 2 שעות — המרחק $= 60 \cdot 3 = 180$ ק"מ. זמן החזרה $= \frac{180}{90} = 2$ שעות.
7. $\frac{x}{2}$ — מכנה משותף $6: \frac{2x + x}{6} = 3\frac{x}{6} = \frac{x}{2}$.
8. 9 — בנים x, בנות 2x. אז $x + 2x = 27 → 3x = 27 → x = 9$.
9. $x = 4$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-8, c=16$. דיסקרימיננטה $= (-8)^{2} - 4 \cdot (16) = 0, \sqrt{0} = 0. x = \frac{8 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 4$ (פתרון כפול).
10. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
11. (x + 4)(x + 5) — מכפלה 20 וסכום 9: 4 ו-5.
12. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
13. 240 ש"ח — 12 חודשים בנפרד: $12 \cdot 120 = 1440$ ש"ח. החיסכון $= 1440 - 1200 = 240$ ש"ח.
14. 3(x - 2)(x + 2) — הוצאת $3: 3(x^{2} - 4) = 3(x-2)(x+2)$.
15. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $6x - 2x = 17 - (5)$, כלומר $4x = 12$. לכן $x = \frac{12}{4} = 3$.
16. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
17. $x = 5$ — נעביר את -2 לאגף ימין: $7x = 33 + 2 = 35$. נחלק ב-$7: x = \frac{35}{7} = 5$.
18. x < 4 — 3x < 12 → x < 4.
19. $x = 7$ — נעביר את 0 לאגף ימין: $5x = 35 - 0 = 35$. נחלק ב-$5: x = \frac{35}{5} = 7$.
20. פתרון יחיד (כפול) — דיסקרימיננטה $= 36 - 36 = 0$, לכן יש פתרון יחיד: $x = 3$. אכן $x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}$.
21. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
22. $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$ — $a=2, b=1, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-1 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -2$ או $x = \frac{3}{2}$.
23. $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$ — $a=3, b=-2, c=-1$. דיסקרימיננטה $= (-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{2 \pm 4}{6}$, ולכן $x = -\frac{1}{3}$ או $x = 1$.
24. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
25. $x = 5$ — נעביר את -7 לאגף ימין: $4x = 13 + 7 = 20$. נחלק ב-$4: x = \frac{20}{4} = 5$.
26. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
27. 4 ימים — סך העבודה $= 3 \cdot 8 = 24$ ימי-פועל. עם 6 פועלים: $\frac{24}{6} = 4$ ימים. (יחס הפוך.)
28. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
29. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
30. 15% — הירידה $= 1000 - 850 = 150$ ש"ח. אחוז הירידה $= \frac{150}{1000} = 0.15 = 15%$.
31. 3x + 8 — $5x - 2x + 8 = 3x + 8$.
32. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $5 \cdot 3 + (2) \cdot 2 = 19$, וכן $3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 = 5$.
33. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
34. $x = 3, y = 4$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 7$, וכן $2 \cdot 3 + (1) \cdot 4 = 10$.
35. 3x — $6\frac{x}{2} = 3x$.