אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = 8$ — נעביר את 6 לאגף ימין: $4x = 38 - 6 = 32$. נחלק ב-$4: x = \frac{32}{4} = 8$.
2. $x \le 5$ — $3x - 6 \le x + 4 → 2x \le 10 → x \le 5$.
3. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
4. $x = 4$ או $x = 7$ — $a=1, b=-11, c=28$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (28) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{11 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 4$ או $x = 7$.
5. 75 ק"מ — 90 דקות $= 1.5$ שעות. מרחק $= 50 \cdot 1.5 = 75$ ק"מ.
6. $x^{2} + 6x$ — $3x^{2} + 6x - 2x^{2} = x^{2} + 6x$.
7. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
8. $x^{2} + 6x$ — $x^{2} + 4x + 2x = x^{2} + 6x$.
9. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
10. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
11. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
12. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
13. $x = 5$ (פתרון כפול) — $a=1, b=-10, c=25$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (25) = 0$, ו-$\sqrt{0} = 0. x = \frac{10 \pm 0}{2}$, ולכן $x = 5$ (פתרון כפול).
14. $x = 2$ או $x = 9$ — $a=1, b=-11, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{11 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 9$.
15. 24 ש"ח — מחיר בקבוק $= \frac{15}{5} = 3$ ש"ח. עבור 8 בקבוקים: $8 \cdot 3 = 24$ ש"ח.
16. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
17. x < 4 — -x > -4 → x < 4 (היפוך סימן).
18. אף פתרון — $x^{2} = -4$, אך אין מספר ממשי שריבועו שלילי. דיסקרימיננטה $= 0 - 16 = -16 < 0$, לכן אין פתרון.
19. $x^{2} - 16$ — הפרש ריבועים: $x^{2} - 16$.
20. $x = 7$ — $2x - 10 + 3 = x → 2x - 7 = x → x = 7$.
21. $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$ — $a=2, b=5, c=-3$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49, \sqrt{49} = 7. x = \frac{-5 \pm 7}{4}$, ולכן $x = -3$ או $x = \frac{1}{2}$.
22. 32% — כמות החומר $= 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 = 1 + 0.6 = 1.6$ ליטר. נפח כולל $= 5$ ליטר. ריכוז $= 1.\frac{6}{5} = 0.32 = 32%$.
23. $4x^{2} - 9$ — הפרש ריבועים: $(2x)^{2} - 3^{2} = 4x^{2} - 9$.
24. $x = 5, y = 3$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 5, y = 3$. בדיקה: $1 \cdot 5 + (2) \cdot 3 = 11$, וכן $2 \cdot 5 + (1) \cdot 3 = 13$.
25. (x - 4)(x + 2) — מכפלה -8 וסכום -2: -4 ו-2.
26. $x = 4$ — נעביר את 4 לאגף ימין: $6x = 28 - 4 = 24$. נחלק ב-$6: x = \frac{24}{6} = 4$.
27. 80 גרם — בתחילה מלח $= 10%$ מ-$300 = 30$ גרם. אחרי הוספה: $30 + 50 = 80$ גרם.
28. x + 10 — $4x + 4 - 3x + 6 = x + 10$.
29. 60 ק"מ — מרחק $=$ מהירות $\cdot$ זמן $= 15 \cdot 4 = 60$ ק"מ.
30. $x = 7$ — נעביר את -5 לאגף ימין: $2x = 9 + 5 = 14$. נחלק ב-$2: x = \frac{14}{2} = 7$.
31. (x + 2)(x + 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3.
32. $x = 5$ — נעביר את -7 לאגף ימין: $4x = 13 + 7 = 20$. נחלק ב-$4: x = \frac{20}{4} = 5$.
33. 3(2x + 3) — גורם משותף 3: 3(2x + 3).
34. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
35. 15 ו-5 — $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. אז $3y + y = 20, 4y = 20, y = 5, x = 15$.