אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

פתרונות

1. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
2. 20 — $x + (x+1) = 41 → 2x + 1 = 41 → x = 20. (20$ ו-21.)
3. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
4. 3 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ לשעה. הזמן $= 1$ חלקי $\frac{1}{3} = 3$ שעות.
5. $x = 3$ או $x = 6$ — $a=1, b=-9, c=18$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{9 \pm 3}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 6$.
6. $x^{2} + 10x + 25$ — $(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^{2} + 10x + 25$.
7. $x^{2} + 5x + 6$ — $x \cdot x + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$.
8. x < 4 — נחסר 5: x < 4.
9. $x = 5$ או $x = -5$ — $x^{2} = 25$, ולכן $x = \pm 5. ($אפשר גם לפרק: $(x-5)(x+5)=0.)$
10. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
11. 6 שעות — קצב משותף $= \frac{1}{4}$. קצב הראשון $= \frac{1}{12}$. קצב השני $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, ולכן 6 שעות.
12. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
13. $x = 10$ — $x + 2 = 12 → x = 10$.
14. 4(x + 2) — גורם משותף 4: 4(x + 2).
15. 20% — כמות החומר $= 4 \cdot 0.25 = 1$ ליטר. נפח כולל $= 1 + 4 = 5$ ליטר. ריכוז $= \frac{1}{5} = 0.20 = 20%$.
16. 15 דקות — זמן $= \frac{300}{20} = 15$ דקות.
17. 7 שנים — $14 + t = 21 → t = 7$ שנים.
18. 5(2x - 3) — גורם משותף 5: 5(2x - 3).
19. $2x^{2} - 5x - 3$ — $2x^{2} - 6x + x - 3 = 2x^{2} - 5x - 3$.
20. (x - 4)(x + 3) — מכפלה -12 וסכום -1: -4 ו-3.
21. 800 קמ"ש — מהירות $= \frac{2400}{3} = 800$ קמ"ש.
22. $x = 8$ — נחסר 12 משני האגפים: $x = 20 - 12 = 8$.
23. $x = 5, y = 2$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 5, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 5 + (1) \cdot 2 = 17$, וכן $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 2 = 8$.
24. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
25. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
26. $x = -2$ או $x = 5$ — $a=1, b=-3, c=-10$. דיסקרימיננטה $= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{3 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -2$ או $x = 5$.
27. 18 ו-12 — $x + y = 30, x - y = 6$. נחבר: $2x = 36, x = 18$, ואז $y = 12$.
28. $x \le -3$ — מחלקים ב-(-3) והופכים סימן: $x \le -3$.
29. $x^{2} - 6x + 9$ — $(x-3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = x^{2} - 6x + 9$.
30. $x = 8$ — $2x - 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8$.
31. x — מצמצמים $x: x^{2}/x = x ($עבור $x \ne 0)$.
32. $x = 4, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 4, y = 2$. בדיקה: $3 \cdot 4 + (2) \cdot 2 = 16$, וכן $1 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 2$.
33. $(x + 4)^{2}$ — ריבוע שלם: $x^{2} + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^{2} = (x+4)^{2}$.
34. $x = 5$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $4x - 6x = -2 - (8)$, כלומר -$2x = -10$. לכן $x = -10/-2 = 5$.
35. 5(x - 2)(x + 2) — הוצאת $5: 5(x^{2} - 4) = 5(x-2)(x+2)$.