פונקציות — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 0 — f(x) = (x−2)². מינימום ב-x=2: f(2) = 0.
2. (3, 1) — y = (x−3)² + 1. נקודת מינימום ב-(3, 1).
3. x ≥ 3 — בשורש יש דרישה שהביטוי תחת השורש לא יהיה שלילי: x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3.
4. x = ±2 — x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2.
5. x < 3 — −2x + 6 > 0 → −2x > −6 → x < 3.
6. (2, 3) — x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2. y = 3. הנקודה (2, 3).
7. 3 — 12 = a · 4 → a = 3.
8. −2 — שיפוע = (−5 − 3)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
9. x = 2 — ציר הסימטריה: x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1) = 4/2 = 2.
10. (2, −1) — ציר סימטריה: x = 2. y(2) = 4 − 8 + 3 = −1. הקודקוד (2, −1).
11. (1, 0) ו־(3, 0) — x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 או x = 3.
12. x < 1 או x > 3 — הפרבולה נפתחת מעלה וחותכת ב־x = 1 ו־x = 3. היא חיובית מחוץ לשורשים: x < 1 או x > 3.
13. 1 < x < 3 — הפרבולה שלילית בין השורשים: 1 < x < 3.
14. 3 — 4 = 12/x → x = 12/4 = 3.
15. 12 — 4 = a/3 → a = 12.
16. (0, −9) — x = 0: y = 0 − 9 = −9. הנקודה (0, −9).
17. (2, 0) ו־(3, 0) — x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 או x = 3.
18. (−1, 1) ו־(2, 4) — x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 (y = 4) ו־x = −1 (y = 1).
19. (3, 0) — |x − 3| = 0 כש־x = 3. הנקודה (3, 0).
20. (−4, 0) — y = |x + 4| מינימלי כאשר |x + 4| = 0, כלומר x = −4. y = 0. הנקודה (−4, 0).
21. y שואף ל־0 — כש־x → ∞, y = 2/x → 0. הפונקציה מתקרבת לאסימפטוטה y = 0 אך אינה מגיעה.
22. x = 3 — x = −b/(2a) = −6/(2·(−1)) = −6/(−2) = 3.
23. (3, 4) — x = 3 (ציר סימטריה). y(3) = −9 + 18 − 5 = 4. הקודקוד (3, 4) — מקסימום.
24. 1 < x < 5 — שורשי y = 0: x² − 6x + 5 = 0 → (x − 1)(x − 5) = 0. הפרבולה נפתחת מטה, חיובית בין השורשים.
25. (0, 0) ו־(2, 4) — x² = 4x − x² → 2x² − 4x = 0 → 2x(x − 2) = 0 → x = 0 (y = 0) ו־x = 2 (y = 4).
26. 4 — y = |2·1 − 6| = |2 − 6| = |−4| = 4.
27. y = 0 — לכל פונקציה y = a/x, האסימפטוטה האופקית היא תמיד y = 0.
28. (1, −8) — בצורה y = a(x − h)² + k, הקודקוד הוא (h, k). כאן h = 1, k = −8.
29. −1 — ⌊−0.1⌋ = −1 כי המספר השלם הגדול שאינו עולה על −0.1 הוא −1.
30. היפרבולה ברביעים ראשון ושלישי — y = a/x עם a > 0 יוצרת היפרבולה ברביעים ראשון ושלישי.
31. 0 — x² + 4 = 0 → x² = −4, אין פתרון ממשי. הפרבולה אינה חוצה את ציר x.
32. (3, 7) ו-(−1, −1) — x² − 2 = 2x + 1 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0. x = 3: y = 2(3)+1 = 7. x = −1: y = 2(−1)+1 = −1.
33. (−1, 1) ו-(2, 4) — x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0. x = 2: y = 4. x = −1: y = 1.
34. (1, −1) ו-(4, 8) — x² − 2x = 3x − 4 → x² − 5x + 4 = 0 → (x − 1)(x − 4) = 0. x = 1: y = −1. x = 4: y = 8.
35. −2 < x < 2 — x² < 4 → |x| < 2 → −2 < x < 2.
36. 0 — ⌊2.99⌋ = 2 ו־⌊−1.01⌋ = −2. הסכום: 2 + (−2) = 0.
37. לא — y = 3/2 = 1.5 ≠ 4. הנקודה (2, 4) אינה על הגרף.
38. x = 3 — x² − 4 = 2x − 1 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0. x = 3 או x = −1. השורש החיובי: x = 3.
39. 3 — 6 = a(1)² + 2(1) + 1 = a + 3. אז a = 3.
40. t = 6 שניות — h(t) = 0 ⟹ −5t² + 30t = 0 ⟹ −5t(t − 6) = 0 ⟹ t = 0 או t = 6. חוזר ב-t = 6.