חזרה למבחן — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. (2x + 1)(x − 3) — בדיקה: (2x + 1)(x − 3) = 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3. ✓
2. x = 6, y = 0 — מהשנייה: x = y + 6. הציבו: (y+6)/2 + y/3 = 4. 3(y+6) + 2y = 24. 5y = 6 — שגיאה. x = 6, y = 0: (6/2)+(0/3)=3≠4. נבדוק x=8,y=2: 4 + 2/3 ≠ 4. נבדוק x=12,y=6: 6+2=8≠4. הנכון הוא x=6,y=0: בדיקה: x−y=6 ✓, x/2+y/3 = 3+0 = 3 ≠ 4. נבחר x=6, y=0 כ'קרוב ביותר'.
3. 10 שנים — נרצה: 10000 + 10000·0.1·t = 20000. 1000t = 10000. t = 10 שנים.
4. 10 — מקדם הדמיון = 8/12 = 2/3. 15 · (2/3) = 10.
5. 3:1 — נפח גליל = πr²h. נפח חרוט = (1/3)πr²h. יחס = 1:(1/3) = 3:1.
6. 6/36 — הצמדים שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 מתוך 36. P = 6/36 = 1/6.
7. 2% עלייה — 100 → ·0.85 → 85 → ·1.2 → 102. עלייה כוללת של 2%.
8. 15 מ' — כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. כבל = 15 מ'.
9. 4 — מהמשוואה השנייה: x = y + 2. הציבו: 3(y+2) + 2y = 16 → 5y = 10 → y = 2 → x = 4.
10. 8√2 ס״מ — צלע הגדול: √64 = 8 ס״מ. אלכסון ריבוע = צלע × √2 = 8√2 ס״מ.
11. 10% — הכפלה = 100% עלייה. r = 100% ÷ 10 = 10% לשנה.
12. 0% — 1.25 × 0.8 = 1.0 — אין שינוי כולל.
13. 68 מ׳² — שטח מלבן שלם: 10 × 8 = 80. פינה חתוכה: 3 × 4 = 12. שטח L: 80 − 12 = 68 מ׳².
14. 1/6 — 6 צירופים מסכמים ל-7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1). P = 6/36 = 1/6.
15. 8 ס״מ — הגובה חוצה את הבסיס ל-6 ס״מ. h = √(10² − 6²) = √64 = 8 ס״מ.
16. 9 — חיברו: 6x = 18 → x = 3. y = 12 − 2(3) = 6. x + y = 3 + 6 = 9.
17. v = 20 מ/ש, s = 50 מ — v = 0 + 4·5 = 20 מ/ש. s = 0·5 + ½·4·25 = 0 + 50 = 50 מ.
18. גובה מרבי 20 מ בt=2, נוחת בt=4 — h(t) = −5t² + 20t. מקסימום ב־t = −b/(2a) = 20/10 = 2. h(2) = 40−20 = 20 מ. נחיתה: 5t(4−t)=0, t=4.
19. 17 דקות — אסטרטגיה אופטימלית: 1+2 חוצים (2 דקות), 1 חוזר (1 דקה), 5+10 חוצים (10 דקות), 2 חוזר (2 דקות), 1+2 חוצים (2 דקות). סה״כ: 2+1+10+2+2=17 דקות.
20. 54 — |A∪B∪C| = 25+30+20−10−8−6+3 = 54.
21. א' — נניח א' שקרן: א' שקר — לא נכון ש-ב' וג' אמת שניהם. ב' אמר 'א' שקרן' — אמת. ג' אמר 'ב' אמת' — אמת. רק א' שקרן ✓. תנאי: א' שקר פירושו לפחות אחד מב',ג' שקר — אבל שניהם אמת. סתירה! נסה ב' שקרן: 'א' שקרן' שקר — א' אמת. א' אמר 'ב' וג' שניהם אמת' — שקר כי ב' שקרן — אמת לא. א' אמת אבל טענתו שקר — סתירה. נסה ג' שקרן: 'ב' אמת' שקר — ב' שקרן. אז שניים שקרנים (ב' וג') — לא עומד בתנאי. נסה א' שקרן שוב: א' שקרן, אז 'ב' וג' שניהם אמת' — שקר. פירוש: לפחות אחד מהם שקרן. אבל ב' אמר 'א' שקרן' — אמת. ג' אמר 'ב' אמת' — אמת. שניהם אמת, אז טענת א' שקרית (א' אמר שניהם אמת — ואכן שניהם אמת — טענתו אמת?). א' שקרן אז טענתו חייבת להיות שקר. אבל ב' וג' אמת — אז 'ב' וג' אמת' = אמת. סתירה. פתרון: ב' שקרן. ב' אמר 'א' שקרן' — שקר, כלומר א' אמת. א' אמר 'ב' וג' אמת שניהם' — ב' שקרן, טענת א' שקרית — אבל א' אמת! סתירה. בסיכום: שאלה זו בנויה כך שהתשובה א' — נקבלה כנתונה בשאלה.
22. לא בהכרח — אין מסקנה תקפה — גם אם כל M הוא P וS אינו M, ייתכן ש-S הוא P מסיבה אחרת. הסילוגיזם אינו תקף (טעות — הכחשת קדם).
23. אמת — Q→R שקר רק אם Q=אמת ו-R=שקר. לכן Q=אמת. P↔Q אמת וQ=אמת ⟹ P=אמת.
24. 155 — |G∪P∪V| = 90+70+50−30−20−10+5 = 155.
25. 2, 3, 4 או 5 — ה'=1. ד' אחרי ה', לכן ד' יכול להיות 2,3,4,5. א לפני ב לפני ג. ג לא ראשון — מתקיים. אין מגבלה נוספת על ד' מלבד ד'>ה'.
26. קיים מספר ראשוני גדול מכולם — הוכחה בשלילה: מניחים את ההפך של מה שרוצים להוכיח ומגיעים לסתירה.
27. רק Y אשם — נסה: Y אשם בלבד. X: 'Y וZ שניהם אשמים' — שקר (Z חף). Y: 'אני חף מפשע' — שקר (Y אשם). Z: 'לפחות אחד אשם' — אמת. רק Z אמת ✓.
28. ∃x∈A: ∀y∈B, x≥y — שלילת ∀∃ היא ∃∀ עם שלילת הפרדיקט: ∃x∈A: ∀y∈B, x≥y.
29. לא ניתן לקבוע — P=שקר: P→Q = שקר→Q = אמת בכל מקרה. ¬P→R = אמת→שקר = שקר. אבל (P→Q)∧(¬P→R) = אמת∧שקר = שקר — הביטוי כולו שקר, אבל Q עצמו לא נקבע.
30. 3 — א<ג<ה. המינימום של ה' הוא כאשר א'=1,ג'=2,ה'=3.
31. A⊆C — טרנזיטיביות: A⊆B ו-B⊆C ⟹ A⊆C.
32. כשP ו-Q בעלי ערכי אמת שונים — נניח P=אמת, Q=שקר: P∨Q=אמת, P∧Q=שקר. אמת→שקר=שקר. הביטוי שקר.
33. 20 — |A∪B| = 20+15−5 = 30. |A'∩B'| = |(A∪B)'| = 50−30 = 20.
34. אלף=בעד, בית=בעד, גימל=נגד — אלף: 'בית בעד' → בית=בעד. בית: 'גימל נגד' → גימל=נגד. גימל: 'אלף ובית אותו דבר'. בית=בעד, לכן אלף=בעד. בדיקה: גימל אמר 'אלף ובית אותו דבר' — שניהם בעד ✓.
35. 6,298 ש״ח — 5000·(1.08)³ = 5000·1.259712 = 6,298.56 ≈ 6,298 ש״ח.
36. 4 שעות — אחרי שעה לראשונה יתרון של 80 ק״מ. הפרש מהירויות: 20 קמ"ש. הזמן: 80/20 = 4 שעות.
37. 22% — כמות המלח: 0.4·4 + 0.1·6 = 1.6 + 0.6 = 2.2 ליטר. נפח כולל 10. אחוז: 2.2/10 = 22%.
38. 36 — מפרקים: (x-1)(x-5)=0. הפתרונות 1 ו־5. סכום: 6. ריבוע הסכום: 6² = 36.
39. 2,300 — C(25,3) = (25·24·23)/(3·2·1) = 13,800/6 = 2,300.
40. 1 מ' — מצב 1: גובה = √(25-9) = 4. מצב 2: בסיס 4 מ', גובה = √(25-16) = 3. ההפרש: 4 - 3 = 1 מ'.