פונקציות — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. מעל 150 דקות — נשווה: 50 + 0.30x = 20 + 0.50x. אז 30 = 0.20x, ו־x = 150 דקות. מעל 150 דקות חברה א׳ זולה יותר.
2. 2 שעות — מרחק הראשון: 60x. מרחק השני: 80(x − 0.5). שוויון: 60x = 80x − 40, ולכן 20x = 40, ו־x = 2 שעות.
3. 8 — מכל א׳: y = −10x + 200. מכל ב׳: y = 5x + 80. שוויון: −10x + 200 = 5x + 80, אז 120 = 15x, ו־x = 8 דקות.
4. מעל 75 ק״מ — השוואה: 100 + 2x = 160 + 1.2x. אז 0.8x = 60, ו־x = 75 ק״מ. מעל 75 ק״מ חברה ב׳ זולה יותר.
5. y = 10x + 30 — ההפרש 70 ־ 30 = 40 התחלק ל־4 ימים, ולכן השיפוע הוא 10. הקבוע הוא 30. y = 10x + 30.
6. 2 שעות — מרחק כולל לסגירה הוא 300, וקצב הסגירה המשותף 70 + 80 = 150 קמ״ש. הזמן: 300 : 150 = 2 שעות.
7. y = 3x + 12 — y = mx + 12. נציב x = 10, y = 42: 42 = 10m + 12, לכן 10m = 30, ו־m = 3. הפונקציה y = 3x + 12.
8. 20 ליטר, y = 6x + 20 — y = 6x + b. נציב x = 5, y = 50: 50 = 30 + b, לכן b = 20. הפונקציה: y = 6x + 20.
9. עד 30 שיחות — השוואה: 200 = 80 + 4x. אז 4x = 120, ו־x = 30. עד 30 שיחות ב׳ זולה יותר.
10. 1.5 שעות — קצב הסגירה: 15 + 45 = 60 קמ״ש. המרחק 90 ק״מ. הזמן: 90 : 60 = 1.5 שעות.
11. y = 2x + 5 — הנקודה (0, 5) על ציר Y פירושה n = 5. עם שיפוע m = 2: y = 2x + 5.
12. y = ־3x ־ 2 — הנקודה (0, ־2) פירושה n = ־2. עם שיפוע m = ־3: y = ־3x + (־2) = ־3x ־ 2.
13. 3 — נחלק את שני האגפים ב־2: y = 3x + 2. המקדם של x הוא 3, ולכן השיפוע הוא 3.
14. 2 — נחלק את שני האגפים ב־2: y = 3x + 2. האיבר החופשי הוא 2.
15. 5 — נעביר את ־4 לאגף השני: y = 5x + 4. השיפוע הוא 5.
16. 4 — נסדר: y = 5x + 4. האיבר החופשי הוא 4, ולכן החיתוך עם Y הוא 4.
17. y = 4x ־ 7 — פונקציות מקבילות יש להן אותו שיפוע. השיפוע של y = 4x + 1 הוא 4. הפונקציה y = 4x ־ 7 גם בעלת שיפוע 4.
18. 3 — השיפוע = שינוי ב־y חלקי שינוי ב־x = (10 ־ 7) / (1 ־ 0) = 3 / 1 = 3.
19. y = ½x ־ 1 — n = ־1 והשיפוע m = ½. הפונקציה: y = ½x + (־1) = ½x ־ 1.
20. ־2 — נכפול את שני האגפים ב־(־1): y = ־2x ־ 6. השיפוע הוא ־2.
21. (2, 5) — 2x + 1 = −x + 7. 3x = 6. x = 2. y = 2×2+1 = 5. נקודה: (2, 5).
22. 6 ק״מ — שיפוע = 3/5. פונקציה: y = (3/5)x. כאשר x = 10: y = (3/5) × 10 = 6 ק״מ.
23. גרף א' משתנה פי 3 יותר מגרף ב' — שיפוע מייצג שינוי ב-y לכל שינוי של 1 ב-x. שיפוע 3 פירושו שינוי של 3, ושיפוע 1 פירושו שינוי של 1. יחס = 3:1.
24. y = 3x + 1 — שיפוע = (16−7)÷(5−2) = 9÷3 = 3. הציבו (2,7): 7 = 6+b → b=1. y = 3x+1.
25. 4 — A: y = 10+1 = 11. B: y = 10−3 = 7. הפרש = 11−7 = 4.
26. (4, 6) — −x+10 = x+2 → 8 = 2x → x=4. y = 4+2 = 6. נקודת החיתוך (4, 6).
27. 8 — f(5) = 25 − 10 + 1 = 16. f(3) = 9 − 6 + 1 = 4. f(5) − f(3) = 16 − 4 = 12. תוקן: 12.
28. y = −2x − 1 — שיפוע = (−9 − 3)/(4 − (−2)) = −12/6 = −2. עם הנקודה (−2, 3): 3 = −2 · (−2) + n → 3 = 4 + n → n = −1. הישר: y = −2x − 1.
29. (3, 5) — משווים: 3x − 4 = x + 2 → 2x = 6 → x = 3. y = 3 + 2 = 5. הנקודה (3, 5).
30. y = 2x + 3 — שיפוע = (11 − 5)/(4 − 1) = 6/3 = 2. עם (1, 5): 5 = 2 + b → b = 3. הפונקציה: y = 2x + 3.
31. מ 6 ק״מ ומעלה — 8 + 2.5x < 5 + 3x → 3 < 0.5x → x > 6. מ 6 ק״מ A זולה.
32. −5 ≤ y ≤ 13 — כש x = −2: y = −6 + 1 = −5. כש x = 4: y = 12 + 1 = 13. הטווח: −5 ≤ y ≤ 13.
33. מקבילים — שני הישרים בעלי אותו שיפוע (2) אך n שונה. לפיכך הם מקבילים ואינם נפגשים.
34. (4, 4) — שיפוע = (0 − (−4))/(2 − 0) = 2. y = 2x − 4. כש x = 4: y = 8 − 4 = 4. הנקודה (4, 4).
35. (3, 3) — −x + 6 = 2x − 3 → 9 = 3x → x = 3. y = −3 + 6 = 3. הנקודה (3, 3).
36. (−3, 5) — שיקוף לגבי ראשית: (a, b) → (−a, −b). אם לאחר השיקוף יש (3, −5), אז (−a, −b) = (3, −5), כלומר a = −3, b = 5. הנקודה המקורית: (−3, 5).
37. קצב שינוי y לכל יחידת x — m הוא השיפוע, שמבטא את קצב השינוי של y לכל שינוי של 1 ב x.
38. (0, 5/2) — שיפוע = (4 − 1)/(−1 − 5) = 3/(−6) = −1/2. עם (5, 1): 1 = −1/2 · 5 + n → 1 = −5/2 + n → n = 5/2. הנקודה (0, 5/2).
39. 10 שבועות — y = −20x + 500. כאשר y = 300: −20x + 500 = 300 → 20x = 200 → x = 10 שבועות.
40. k יכול להיות כל מספר ממשי — ישר עם שיפוע חיובי (2) עובר תמיד ברביעים I ו III ועוד רביע אחד, ללא קשר לערך n = k.