סדרות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $1$ — $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1/2}{1-1/2}=\frac{1/2}{1/2}=1$.
2. $78$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{11}=8+(11-1)\cdot 7=8+10\cdot 7=78$.
3. $20$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{12}=9+(12-1)\cdot 1=9+11\cdot 1=20$.
4. $34$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{13}=10+(13-1)\cdot 2=10+12\cdot 2=34$.
5. $21$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{5}=9+(5-1)\cdot 3=9+4\cdot 3=21$.
6. $30$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{6}=10+(6-1)\cdot 4=10+5\cdot 4=30$.
7. $32$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{7}=2+(7-1)\cdot 5=2+6\cdot 5=32$.
8. $94$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{15}=10+(15-1)\cdot 6=10+14\cdot 6=94$.
9. $107$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{16}=2+(16-1)\cdot 7=2+15\cdot 7=107$.
10. $19$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{17}=3+(17-1)\cdot 1=3+16\cdot 1=19$.
11. $18$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{9}=2+(9-1)\cdot 2=2+8\cdot 2=18$.
12. $30$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{10}=3+(10-1)\cdot 3=3+9\cdot 3=30$.
13. $44$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{11}=4+(11-1)\cdot 4=4+10\cdot 4=44$.
14. $216$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=7+11\cdot 2=29$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{12(7+29)}{2}=216$.
15. $338$ — תחילה $a_{13}=a_1+(n-1)d=8+12\cdot 3=44$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{13(8+44)}{2}=338$.
16. $378$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=1+13\cdot 4=53$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{14(1+53)}{2}=378$.
17. $1408$ — תחילה $a_{22}=a_1+(n-1)d=1+21\cdot 6=127$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{22(1+127)}{2}=1408$.
18. $1817$ — תחילה $a_{23}=a_1+(n-1)d=2+22\cdot 7=156$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{23(2+156)}{2}=1817$.
19. $624$ — תחילה $a_{24}=a_1+(n-1)d=3+23\cdot 2=49$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{24(3+49)}{2}=624$.
20. $300$ — תחילה $a_{12}=a_1+(n-1)d=3+11\cdot 4=47$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{12(3+47)}{2}=300$.
21. $442$ — תחילה $a_{13}=a_1+(n-1)d=4+12\cdot 5=64$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{13(4+64)}{2}=442$.
22. $616$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=5+13\cdot 6=83$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{14(5+83)}{2}=616$.
23. $54$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{4}=2\cdot 3^{3}=54$.
24. $48$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{5}=3\cdot 2^{4}=48$.
25. $972$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{6}=4\cdot 3^{5}=972$.
26. $4374$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{8}=2\cdot 3^{7}=4374$.
27. $12$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{3}=3\cdot 2^{2}=12$.
28. $108$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{4}=4\cdot 3^{3}=108$.
29. $486$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{6}=2\cdot 3^{5}=486$.
30. $192$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{7}=3\cdot 2^{6}=192$.
31. $8748$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{8}=4\cdot 3^{7}=8748$.
32. $80$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=2\cdot\dfrac{3^{4}-1}{3-1}=2\cdot\dfrac{81-1}{2}=80$.
33. $93$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=3\cdot\dfrac{2^{5}-1}{2-1}=3\cdot\dfrac{32-1}{1}=93$.
34. $1456$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=4\cdot\dfrac{3^{6}-1}{3-1}=4\cdot\dfrac{729-1}{2}=1456$.
35. $160$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=4\cdot\dfrac{3^{4}-1}{3-1}=4\cdot\dfrac{81-1}{2}=160$.
36. $31$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=1\cdot\dfrac{2^{5}-1}{2-1}=1\cdot\dfrac{32-1}{1}=31$.
37. $728$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=2\cdot\dfrac{3^{6}-1}{3-1}=2\cdot\dfrac{729-1}{2}=728$.
38. $\dfrac{9}{2}$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{3}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{\frac{2}{3}}=\dfrac{9}{2}$.
39. $\dfrac{16}{3}$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{4}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac{4}{\frac{3}{4}}=\dfrac{16}{3}$.
40. $\dfrac{25}{4}$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{5}{1-\frac{1}{5}}=\dfrac{5}{\frac{4}{5}}=\dfrac{25}{4}$.