סדרות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $6$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{5}=2+(5-1)\cdot 1=2+4\cdot 1=6$.
2. $41$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{14}=2+(14-1)\cdot 3=2+13\cdot 3=41$.
3. $59$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{15}=3+(15-1)\cdot 4=3+14\cdot 4=59$.
4. $45$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{8}=3+(8-1)\cdot 6=3+7\cdot 6=45$.
5. $60$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{9}=4+(9-1)\cdot 7=4+8\cdot 7=60$.
6. $38$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{18}=4+(18-1)\cdot 2=4+17\cdot 2=38$.
7. $59$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{19}=5+(19-1)\cdot 3=5+18\cdot 3=59$.
8. $60$ — האיבר הכללי בסדרה חשבונית הוא $a_n=a_1+(n-1)d$. נציב: $a_{12}=5+(12-1)\cdot 5=5+11\cdot 5=60$.
9. $36$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=1+5\cdot 2=11$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{6(1+11)}{2}=36$.
10. $555$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=2+14\cdot 5=72$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{15(2+72)}{2}=555$.
11. $768$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=3+15\cdot 6=93$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{16(3+93)}{2}=768$.
12. $1000$ — תחילה $a_{25}=a_1+(n-1)d=4+24\cdot 3=76$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{25(4+76)}{2}=1000$.
13. $90$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=5+5\cdot 4=25$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{6(5+25)}{2}=90$.
14. $825$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=6+14\cdot 7=104$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{15(6+104)}{2}=825$.
15. $352$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=7+15\cdot 2=37$. הסכום: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{16(7+37)}{2}=352$.
16. $320$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{7}=5\cdot 2^{6}=320$.
17. $2187$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{8}=1\cdot 3^{7}=2187$.
18. $80$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{5}=5\cdot 2^{4}=80$.
19. $243$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{6}=1\cdot 3^{5}=243$.
20. $20$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{3}=5\cdot 2^{2}=20$.
21. $27$ — האיבר הכללי בסדרה הנדסית הוא $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$. נציב: $a_{4}=1\cdot 3^{3}=27$.
22. $127$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=1\cdot\dfrac{2^{7}-1}{2-1}=1\cdot\dfrac{128-1}{1}=127$.
23. $26$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=2\cdot\dfrac{3^{3}-1}{3-1}=2\cdot\dfrac{27-1}{2}=26$.
24. $381$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=3\cdot\dfrac{2^{7}-1}{2-1}=3\cdot\dfrac{128-1}{1}=381$.
25. $52$ — נשתמש ב-$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=4\cdot\dfrac{3^{3}-1}{3-1}=4\cdot\dfrac{27-1}{2}=52$.
26. $\dfrac{36}{5}$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{6}{1-\frac{1}{6}}=\dfrac{6}{\frac{5}{6}}=\dfrac{36}{5}$.
27. $4$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{2}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=4$.
28. $\dfrac{36}{5}$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{6}{1-\frac{1}{6}}=\dfrac{6}{\frac{5}{6}}=\dfrac{36}{5}$.
29. $4$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{2}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=4$.
30. $\dfrac{36}{5}$ — מנה מקיימת $|q|<1$ ולכן הטור מתכנס: $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{6}{1-\frac{1}{6}}=\dfrac{6}{\frac{5}{6}}=\dfrac{36}{5}$.
31. $2$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{1}{n},\frac{2}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{2}{1}=2$.
32. $\dfrac{4}{5}$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{4+\frac{5}{n}}{5+\frac{4}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{5}{n},\frac{4}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{5}$.
33. $5$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{5+\frac{1}{n}}{1+\frac{5}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{1}{n},\frac{5}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{5}{1}=5$.
34. $\dfrac{7}{5}$ — נחלק מונה ומכנה ב-$n$: $a_n=\dfrac{7+\frac{5}{n}}{5+\frac{7}{n}}$. כאשר $n\to\infty$ השברים $\frac{5}{n},\frac{7}{n}\to0$, ולכן הגבול הוא $\dfrac{7}{5}=\dfrac{7}{5}$.
35. $7$ — הרקורסיה מוסיפה $2$ בכל צעד, כלומר זו סדרה חשבונית עם $d=2$. לאחר $3$ צעדים מ-$a_1=1$ מקבלים $a_{4}=1+3\cdot 2=7$.
36. $17$ — הרקורסיה מוסיפה $3$ בכל צעד, כלומר זו סדרה חשבונית עם $d=3$. לאחר $4$ צעדים מ-$a_1=5$ מקבלים $a_{5}=5+4\cdot 3=17$.
37. $21$ — הרקורסיה מוסיפה $4$ בכל צעד, כלומר זו סדרה חשבונית עם $d=4$. לאחר $5$ צעדים מ-$a_1=1$ מקבלים $a_{6}=1+5\cdot 4=21$.
38. $16875$ — בריבית דריבית הסכום מתנהג כסדרה הנדסית: $A=P\cdot\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^{t}=5000\cdot 1.5^{3}=16875$ ש"ח.
39. $1215.51$ — בריבית דריבית הסכום מתנהג כסדרה הנדסית: $A=P\cdot\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^{t}=1000\cdot 1.05^{4}=1215.51$ ש"ח.
40. $25312.5$ — בריבית דריבית הסכום מתנהג כסדרה הנדסית: $A=P\cdot\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^{t}=5000\cdot 1.5^{4}=25312.5$ ש"ח.