אלגברה — כיתה י"ב · 4 יח"ל

פתרונות

1. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $8 = 2^{3}$, ולכן $2^x = 2^{3}$ ומכאן $x = 3$.
2. $4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $16 = 2^{4}$, ולכן $2^x = 2^{4}$ ומכאן $x = 4$.
3. $5$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $32 = 2^{5}$, ולכן $2^x = 2^{5}$ ומכאן $x = 5$.
4. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $3$: $9 = 3^{2}$, ולכן $3^x = 3^{2}$ ומכאן $x = 2$.
5. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $3$: $27 = 3^{3}$, ולכן $3^x = 3^{3}$ ומכאן $x = 3$.
6. $4$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $3$: $81 = 3^{4}$, ולכן $3^x = 3^{4}$ ומכאן $x = 4$.
7. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $5$: $25 = 5^{2}$, ולכן $5^x = 5^{2}$ ומכאן $x = 2$.
8. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $5$: $125 = 5^{3}$, ולכן $5^x = 5^{3}$ ומכאן $x = 3$.
9. $6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $64 = 2^{6}$, ולכן $2^x = 2^{6}$ ומכאן $x = 6$.
10. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $10$: $1000 = 10^{3}$, ולכן $10^x = 10^{3}$ ומכאן $x = 3$.
11. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $4$: $16 = 4^{2}$, ולכן $4^x = 4^{2}$ ומכאן $x = 2$.
12. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $4$: $64 = 4^{3}$, ולכן $4^x = 4^{3}$ ומכאן $x = 3$.
13. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $7$: $49 = 7^{2}$, ולכן $7^x = 7^{2}$ ומכאן $x = 2$.
14. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $6$: $36 = 6^{2}$, ולכן $6^x = 6^{2}$ ומכאן $x = 2$.
15. $7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $128 = 2^{7}$, ולכן $2^x = 2^{7}$ ומכאן $x = 7$.
16. $3$ — $16 = 2^4$, לכן $x+1 = 4$ ומכאן $x = 3$.
17. $2$ — $81 = 3^4$, לכן $2x = 4$ ומכאן $x = 2$.
18. $2$ — $32 = 2^5$, לכן $3x-1 = 5$, $3x = 6$ ומכאן $x = 2$.
19. $-2$ — $\frac{1}{25} = 5^{-2}$, לכן $x = -2$.
20. $-3$ — $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, לכן $x = -3$.
21. $\frac{3}{2}$ — מבססים על $3$: $9^x = 3^{2x}$ ו-$27 = 3^3$, לכן $2x = 3$ ומכאן $x = \frac{3}{2}$.
22. $\frac{2}{3}$ — מבססים על $2$: $2^{3x} = 2^2$, לכן $3x = 2$ ומכאן $x = \frac{2}{3}$.
23. $\frac{3}{2}$ — מבססים על $2$: $2^{2x} = 2^3$, לכן $2x = 3$ ומכאן $x = \frac{3}{2}$.
24. $x = \pm 2$ — $16 = 2^4$, לכן $x^2 = 4$ ומכאן $x = \pm 2$.
25. $x = \pm\sqrt{3}$ — $9 = 3^2$, לכן $x^2-1 = 2$, $x^2 = 3$ ומכאן $x = \pm\sqrt{3}$.
26. $x = 0, \; x = 2$ — נציב $t = 2^x$: $t^2 - 5t + 4 = 0$ ומכאן $t = 1$ או $t = 4$. אם $2^x = 1$ אז $x = 0$; אם $2^x = 4$ אז $x = 2$.
27. $x = 0, \; x = 1$ — נציב $t = 3^x$: $t^2 - 4t + 3 = 0$ ומכאן $t = 1$ או $t = 3$. אם $3^x = 1$ אז $x = 0$; אם $3^x = 3$ אז $x = 1$.
28. אין פתרון — הביטוי $2^x$ חיובי תמיד לכל $x$, ולכן לא ייתכן שהוא שווה ל-$-4$. אין פתרון.
29. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 8$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $2$ כדי לקבל $8$. מכיוון ש-$2^{3} = 8$, התשובה היא $3$.
30. $4$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 16$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $2$ כדי לקבל $16$. מכיוון ש-$2^{4} = 16$, התשובה היא $4$.
31. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{3} 9$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $3$ כדי לקבל $9$. מכיוון ש-$3^{2} = 9$, התשובה היא $2$.
32. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{3} 27$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $3$ כדי לקבל $27$. מכיוון ש-$3^{3} = 27$, התשובה היא $3$.
33. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{5} 25$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $5$ כדי לקבל $25$. מכיוון ש-$5^{2} = 25$, התשובה היא $2$.
34. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{10} 1000$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $10$ כדי לקבל $1000$. מכיוון ש-$10^{3} = 1000$, התשובה היא $3$.
35. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{10} 100$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $10$ כדי לקבל $100$. מכיוון ש-$10^{2} = 100$, התשובה היא $2$.
36. $5$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 32$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $2$ כדי לקבל $32$. מכיוון ש-$2^{5} = 32$, התשובה היא $5$.
37. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{4} 16$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $4$ כדי לקבל $16$. מכיוון ש-$4^{2} = 16$, התשובה היא $2$.
38. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{5} 125$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $5$ כדי לקבל $125$. מכיוון ש-$5^{3} = 125$, התשובה היא $3$.
39. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 1$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $2$ כדי לקבל $1$. מכיוון ש-$2^{0} = 1$, התשובה היא $0$.
40. $1$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{7} 7$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $7$ כדי לקבל $7$. מכיוון ש-$7^{1} = 7$, התשובה היא $1$.